Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un échantillon est une partie de la population étudiée ; sa fréquence ne reproduit presque jamais exactement celle de la population : c'est la fluctuation d'échantillonnage.4
Simuler, c'est reproduire une expérience aléatoire avec un outil (tableur, programme, simulateur) pour observer son comportement et valider ou invalider un modèle.1
Plus l'échantillon est grand, plus les fréquences observées se resserrent autour de la valeur cherchée.
La capture-recapture estime un effectif total par une quatrième proportionnelle : N=marqueˊs dans la recapturemarqueˊs au deˊpart×taille de la recapture.4
Un intervalle de confiance au niveau 95 % (formule fournie) encadre la proportion inconnue de la population ; on décide en l'interprétant avec prudence.4
Population, échantillon, fréquence : poser le vocabulaire
Un institut de sondage ne peut pas interroger les 50 millions d'adultes d'un pays. Un laboratoire ne peut pas tester chaque comprimé fabriqué. Un écologue ne peut pas compter chaque poisson d'un lac. Dans tous ces cas, on observe une petite partie pour apprendre quelque chose sur le tout. C'est le principe de l'échantillonnage, et c'est exactement ce que le programme de Première te demande de maîtriser avec l'aide d'outils logiciels : chercher, expérimenter, modéliser, simuler, puis valider ou invalider un modèle.1
Dans ce cours, tu vas voir pourquoi un échantillon ne donne jamais exactement le résultat attendu, comment on le simule, comment on encadre une valeur inconnue et comment on prend une décision raisonnable. Tu t'appuies sur ce que tu connais déjà : les fréquences, les fréquences conditionnelles, les probabilités et les arbres.
La fluctuation d'échantillonnage
Imagine deux camarades qui interrogent chacun 100 élèves tirés au hasard dans le même lycée. Ils n'obtiendront presque jamais le même résultat : l'un trouve 0,37, l'autre 0,42. Personne ne s'est trompé. Chacun a simplement vu un échantillon différent.
Les ressources d'accompagnement du programme proposent justement de simuler plusieurs échantillons de même effectif afin de visualiser cette fluctuation.4 Les documents d'Éduscol en mathématiques en donnent des déclinaisons : fluctuation des fréquences de succès sur des échantillons d'une variable de Bernoulli, ou fluctuation des moyennes calculées sur des échantillons d'une variable aléatoire dans l'activité « Loterie » de Première générale.3
Échantillonnage
Vocabulaire
Population
Échantillon
Fréquence
Fluctuation
Varie selon l'échantillon
Se resserre si n croît
Simulation
Modèle
Générateur aléatoire
Répétitions
Décision
Intervalle de confiance
Comparer
Conclure
Carte mentale du chapitre · Les grandes idées du chapitre.
Simuler une expérience aléatoire
Répéter mille fois une expérience réelle est long, coûteux, parfois impossible. On la simule : on la reproduit avec un outil qui génère du hasard (tableur, programme Python, simulateur en ligne), en s'assurant que les probabilités du modèle sont respectées.
Le programme cite des situations simples à modéliser ou à simuler : le pile ou face, le jeu de « croix ou pile » de d'Alembert, la pierre-feuille-ciseaux, le jeu du lièvre et de la tortue, le jeu du « passe-dix » (problème du grand-duc de Toscane).1 Les ressources de Canopé mentionnent aussi un simulateur de planche de Galton, découvert d'abord en autonomie puis débattu en classe.5
ModéliserFixer les issues et leurs probabilités.
Coder le hasardAssocier une plage de valeurs à chaque issue.
RépéterGénérer plusieurs échantillons de même effectif.
CalculerObtenir la fréquence de chaque échantillon.
InterpréterComparer au modèle, conclure avec prudence.
Les étapes d'une simulation · Démarche générale d'une simulation.
Estimer un effectif : la capture-recapture
Comment connaître le nombre de poissons d'un lac sans les compter un par un ? On en capture un certain nombre, on les marque, on les relâche, puis on en recapture un second échantillon et on regarde la part de poissons marqués.
Démonstration · Retrouver la formule
On part de l'égalité des proportions nm=NM. On multiplie les deux membres par N puis par n :
N×nm=M⟹N×m=M×n⟹N=mM×n
la dernière étape étant possible parce que m=0.
Encadrer une proportion : l'intervalle de confiance
Une seule fréquence f ne suffit pas pour estimer p : on veut un intervalle qui a de bonnes chances de contenir la valeur inconnue. D'après les ressources du programme, on part d'un échantillon pour estimer une grandeur inconnue d'une population très nombreuse, grâce à une formule donnée d'intervalle de confiance au niveau 95 %.4 Tu n'as donc pas à la redémontrer : tu dois savoir l'appliquer et interpréter ce qu'elle dit.
Analyser et décider à partir d'un échantillon
Calculer un intervalle ne suffit pas : il faut en tirer une conclusion. Les ressources de Canopé travaillent justement l'analyse critique d'un résultat d'échantillonnage et la prise de décision à partir d'un échantillon.6
Le même raisonnement s'applique en santé. Le programme évoque les tests médicaux et les notions de faux positifs et de faux négatifs.1 Un test peut se tromper dans les deux sens, et ses performances ne se jugent qu'à partir d'échantillons de personnes dont l'état réel est connu. Tu retrouves ici les tableaux croisés et les probabilités conditionnelles vus avant.
Taille de l'échantillon et conclusion
Taille n
Fréquence f
Intervalle
0,5 dedans ?
Conclusion
400
0,56
[0,51 ; 0,61]
Non
Annonce mise en doute
100
0,56
[0,46 ; 0,66]
Oui
Compatible avec l'annonce
Taille de l'échantillon et conclusion · À fréquence égale, un plus grand échantillon permet de trancher.
Récapitulatif et méthodes à avoir en tête
Exercices corrigés
Exercice 1 Combien de poissons dans le lac ?
★☆☆Environ 8 min
Pour estimer le nombre de poissons d'un lac, un technicien en capture 80, les marque puis les relâche. Une semaine plus tard, il en capture 50 et constate que 10 sont marqués.
Quelle hypothèse faut-il faire pour utiliser la méthode de capture-recapture ?
Estime le nombre total de poissons du lac.
Indice 1
Écris l'égalité entre la proportion de poissons marqués dans la recapture et dans le lac entier.
Indice 2
Une quatrième proportionnelle se calcule par un produit en croix.
Voir la correction pas à pas
On note M=80, n=50, m=10 et N l'effectif cherché.
Hypothèse : la proportion de poissons marqués est la même dans l'échantillon de recapture et dans tout le lac.
On écrit nm=NM, soit 5010=N80.
On en déduit N=1080×50=400.
Le lac contient environ 400 poissons. C'est une estimation, qui dépend de l'échantillon de recapture.
Exercice 2 Intervalle de confiance d'un sondage
★★☆Environ 10 min
Un sondage est réalisé auprès de n=625 habitants d'une ville. 275 d'entre eux se déclarent favorables à la création d'une piste cyclable. On utilise la formule d'intervalle de confiance au niveau 95 % : [f−n1;f+n1].
Calcule la fréquence f observée.
Calcule la borne inférieure de l'intervalle.
Un élu affirme que la moitié des habitants est favorable. Que peut-on lui répondre ?
Indice 1
Calcule d'abord 625275 puis 6251.
Indice 2
Pour la question 3, regarde si 0,5 est dans l'intervalle.
L'intervalle est [0,40;0,48]. La valeur 0,5 n'en fait pas partie.
La borne inférieure vaut 0,40. Comme 0,5 n'appartient pas à l'intervalle, le sondage met en doute l'affirmation de l'élu : la proportion de favorables semble inférieure à 50 %, avec un niveau de confiance de 95 %.
Exercice 3 Quelle taille d'échantillon choisir ?
★★★Environ 12 min
Avec la formule [f−n1;f+n1], l'amplitude de l'intervalle est n2.
Calcule l'amplitude pour n=100 puis pour n=400.
On souhaite une amplitude égale à 0,04. Quelle taille d'échantillon faut-il ?
Par combien faut-il multiplier n pour diviser l'amplitude par 3 ?
Indice 1
Pour la question 2, résous n2=0,04 en isolant n puis n.
Indice 2
Pour la question 3, compare 9n2 et n2.
Voir la correction pas à pas
Pour n=100 : 102=0,2. Pour n=400 : 202=0,1.
On résout n2=0,04 : n=0,042=50.
On élève au carré : n=502=2500.
Pour diviser l'amplitude par 3, il faut que n soit multiplié par 3, donc n multiplié par 32=9.
Il faut un échantillon de 2 500 personnes pour obtenir une amplitude de 0,04, et il faut multiplier n par 9 pour diviser l'amplitude par 3. Gagner en précision coûte donc très cher en taille d'échantillon.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
D'un échantillon à l'autre, la proportion mesurée change : on parle de fluctuation d'échantillonnage.4 Penser à une erreur de calcul est tentant, mais deux calculs justes sur deux échantillons différents donnent naturellement deux valeurs différentes. La dernière proposition est fausse pour la même raison.
C'est faux : les lancers sont indépendants et la probabilité de « face » reste 0,5. L'idée d'un rattrapage est tentante, mais la pièce n'a pas de mémoire ; les fréquences se stabilisent grâce au grand nombre de lancers, pas par compensation.
On applique N=mM×n=6120×30=600, en supposant que la proportion de marqués est la même dans la recapture et dans la population.4 L'erreur tentante est de calculer 120×6/30=24, qui inverse les rôles de n et m et donne un effectif plus petit que le nombre de marqués, ce qui est absurde.
L'amplitude vaut n2. Avec 4n, on obtient 4n2=2n2, soit la moitié. L'erreur tentante « divisée par 4 » suppose une proportionnalité avec n, alors que n intervient sous une racine carrée.
Pour un modèle équilibré, il faut cinq chiffres sur dix pour chaque issue : les deux premières propositions conviennent. La troisième donne une probabilité de 0,4 à « pile » et la dernière 0,1 : ce sont des erreurs de largeur de plage, qui simulent un autre modèle que celui visé.
On calcule 1001=0,1 puis 0,4−0,1=0,3. Si tu trouves 0,39, tu as probablement retranché 1001 au lieu de 1001 : la racine carrée fait partie de la formule.
La valeur annoncée 0,5 est en dehors de l'intervalle, donc l'échantillon met l'annonce en doute, avec un risque d'erreur d'environ 5 %.6 Dire que 0,56 est « proche » de 0,5 est tentant, mais seule la comparaison avec l'intervalle compte. Aucune conclusion ne démontre une annonce vraie : on parle de compatibilité ou de doute.
C'est faux. La simulation permet de valider ou d'invalider un modèle à partir de ce qu'on observe,1 mais un accord observé ne constitue pas une démonstration. Un autre modèle voisin pourrait donner des fréquences tout aussi proches.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi une fréquence d'échantillon n'est-elle jamais exactement égale à la proportion de la population ?
Parce que l'échantillon ne contient qu'une partie des individus, et que cette partie change d'un tirage à l'autre. La proportion calculée dépend de l'échantillon choisi : c'est la fluctuation d'échantillonnage.4 Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence a de chances d'être proche de la proportion cherchée, mais l'égalité exacte reste exceptionnelle.
Faut-il apprendre la formule de l'intervalle de confiance par cœur ?
Le programme prévoit l'usage d'une formule donnée pour un intervalle de confiance au niveau 95 %.4 Le plus important est de savoir l'appliquer correctement (calculer f, n puis les deux bornes) et d'interpréter le résultat dans le contexte. Si l'énoncé ne la rappelle pas, mieux vaut connaître celle utilisée en classe.
À quoi sert une simulation si on connaît déjà la probabilité théorique ?
La simulation montre ce que donne concrètement la théorie : la dispersion des fréquences, l'effet de la taille de l'échantillon, la fréquence de situations rares. Elle sert aussi à tester un modèle quand on ne sait pas calculer, par exemple pour des jeux comme le « passe-dix » ou la pierre-feuille-ciseaux cités au programme.1
Comment savoir quelle méthode utiliser dans un exercice ?
Regarde ce que l'énoncé demande. S'il parle d'individus marqués puis recapturés, c'est une capture-recapture.4 S'il donne un échantillon et demande ce qu'on peut dire de la population, utilise l'intervalle de confiance. S'il demande de reproduire une expérience un grand nombre de fois, c'est une simulation. S'il demande si une affirmation est crédible, compare la valeur annoncée à l'intervalle.
Que faire si la valeur annoncée est dans l'intervalle de confiance ?
Tu peux dire que l'échantillon est compatible avec l'affirmation, sans la démontrer. Un échantillon plus grand donnerait un intervalle plus étroit et permettrait peut-être de trancher. Évite la formule « l'affirmation est vraie » : elle dépasse ce que l'échantillon autorise.