Mathématiques (enseignement scientifique, tronc commun) · PremièreÉpreuve anticipée de mathématiques

Échantillonnage et simulation : exercices corrigés de 1re

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un échantillon donne une proportion qui change d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
Capture-recapture : on suppose la proportion d'individus marqués identique dans l'échantillon et dans la population, puis on résout une quatrième proportionnelle.
Intervalle de confiance à 95 % avec la formule donnée : $\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ , où $f$ est la fréquence observée et $n$ la taille de l'échantillon.
Pour un test médical, on compte les faux positifs et les faux négatifs dans un tableau d'effectifs avant de calculer une proportion.
Une simulation répète une expérience par ordinateur ou à la main : plus l'échantillon est grand, plus la fréquence se stabilise.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font manipuler l'échantillonnage et la simulation, deux notions qui reviennent dans le programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique de Première ¹. Ils vont du calcul direct à des situations qui demandent de choisir la bonne méthode. Cherche chaque énoncé sur papier avant d'ouvrir les indices, puis compare ton raisonnement à la correction, étape par étape.

Rappel : simuler pour comprendre

Simuler, c'est reproduire une expérience aléatoire à l'aide d'un outil (dés, pièce, tableur, programme Python) pour observer ce qui se passe quand on la répète. Le programme cite des jeux simples comme le pile ou face ou le jeu de pierre-feuille-ciseaux, à modéliser ou à simuler ¹. Des ressources officielles proposent aussi d'observer la stabilisation des fréquences sur des échantillons simulant une expérience à deux issues, puis la fluctuation des fréquences de succès ou des moyennes d'un échantillon à l'autre ³.

Les exercices

Exercice 1 Estimer un effectif par capture-recapture

★☆☆Environ 8 min

Dans un étang, un garde-pêche capture 80 poissons, les marque, puis les relâche. Quelques jours plus tard, il capture 50 poissons au hasard : 10 d'entre eux portent une marque.

En supposant que la proportion de poissons marqués est la même dans l'échantillon de recapture et dans l'ensemble de l'étang, estime le nombre total de poissons de l'étang.

Indice 1

Calcule d'abord la proportion de poissons marqués dans l'échantillon de recapture.

Indice 2

Cette proportion est supposée égale à $\frac{80}{N}$ , où $N$ est l'effectif total cherché.

Voir la correction pas à pas

Proportion de poissons marqués dans l'échantillon de recapture : $\frac{10}{50}=0{,}2$ .
On suppose que cette proportion est celle de toute la population : $\frac{80}{N}=\frac{10}{50}$ .
Quatrième proportionnelle : $N=\frac{80\times 50}{10}=400$ .
On conclut : l'étang contient environ 400 poissons.

Le résultat est une estimation : un autre échantillon de 50 poissons contiendrait peut-être 8 ou 12 poissons marqués et conduirait à une autre valeur de $N$ . C'est la fluctuation d'échantillonnage ⁴.

Exercice 2 Calculer une fréquence sur une simulation

★☆☆Environ 6 min

Pour tester une pièce, Inès la lance 200 fois et obtient 124 fois « pile ». Quelle est la fréquence de « pile » observée dans cet échantillon ? Donne-la sous forme décimale.

Indice 1

Une fréquence est un effectif divisé par la taille de l'échantillon.

Indice 2

La taille de l'échantillon est le nombre de lancers.

Voir la correction pas à pas

Effectif de « pile » : 124.
Taille de l'échantillon : 200 lancers.
Fréquence : $f=\frac{124}{200}=0{,}62$ .

Une pièce équilibrée donnerait en théorie une fréquence proche de 0,5. L'écart de 0,12 est-il normal pour 200 lancers ? Pour en juger, on peut construire l'intervalle de confiance de la probabilité de « pile » (méthode vue plus loin) et regarder s'il contient 0,5.

Exercice 3 Mesurer la fluctuation sur cinq échantillons

★☆☆Environ 10 min

On simule cinq échantillons indépendants, chacun de 40 individus, dans une population où l'on repère des individus marqués. Les nombres d'individus marqués obtenus sont : 6, 9, 5, 8 et 7.

Calcule la fréquence de chaque échantillon.
Calcule la moyenne des cinq fréquences.

Indice 1

Divise chaque nombre d'individus marqués par 40.

Indice 2

La moyenne des fréquences se calcule comme une moyenne ordinaire : somme divisée par 5.

Voir la correction pas à pas

Fréquences : $\frac{6}{40}=0{,}15$ ; $\frac{9}{40}=0{,}225$ ; $\frac{5}{40}=0{,}125$ ; $\frac{8}{40}=0{,}2$ ; $\frac{7}{40}=0{,}175$ .
On constate que les fréquences vont de 0,125 à 0,225 : elles fluctuent d'un échantillon à l'autre.
Somme des fréquences : $0{,}15+0{,}225+0{,}125+0{,}2+0{,}175=0{,}875$ .
Moyenne : $\frac{0{,}875}{5}=0{,}175$ .

Un seul des cinq échantillons tombe exactement sur la moyenne 0,175 (le cinquième), et les autres s'en écartent peu. Observer plusieurs échantillons de même effectif permet de visualiser la fluctuation d'échantillonnage ⁴.

Exercice 4 Intervalle de confiance d'un sondage

★★☆Environ 10 min

Dans un lycée, on interroge au hasard 400 élèves : 120 déclarent venir à vélo. On utilise la formule suivante, donnée dans l'énoncé : pour une fréquence observée $f$ sur un échantillon de taille $n$ , l'intervalle de confiance au niveau de 95 % est

$\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right].$

Détermine la borne supérieure de cet intervalle.

Indice 1

Calcule d'abord $f=\frac{120}{400}$ .

Indice 2

Calcule ensuite $\frac{1}{\sqrt{400}}$ : la racine carrée de 400 est un entier.

Voir la correction pas à pas

Fréquence observée : $f=\frac{120}{400}=0{,}30$ .
Demi-largeur de l'intervalle : $\frac{1}{\sqrt{400}}=\frac{1}{20}=0{,}05$ .
Intervalle : $[0{,}30-0{,}05 ; 0{,}30+0{,}05]=[0{,}25 ; 0{,}35]$ .
La borne supérieure vaut 0,35.

On interprète ainsi : la proportion d'élèves du lycée qui viennent à vélo est vraisemblablement comprise entre 25 % et 35 %. On ne dit pas qu'elle vaut exactement 30 %, car un autre échantillon donnerait une autre fréquence ⁴.

Exercice 5 Capture-recapture avec marge d'erreur

★★☆Environ 15 min

Dans une forêt, on marque 100 renards, que l'on relâche. Plus tard, on capture 200 renards : 40 sont marqués. Avec la formule de l'exercice précédent, l'intervalle de confiance à 95 % de la proportion $p$ de renards marqués dans la forêt est $\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ , où $f$ est la fréquence de renards marqués dans l'échantillon et $n$ sa taille.

La proportion réelle est $p=\frac{100}{N}$ , où $N$ est le nombre total de renards. Donne la plus petite valeur plausible de $N$ , arrondie au dixième.

Indice 1

Calcule $f$ , puis les deux bornes de l'intervalle de $p$ .

Indice 2

Comme $N=\frac{100}{p}$ , la plus petite valeur de $N$ correspond à la plus grande valeur de $p$ .

Voir la correction pas à pas

Fréquence observée : $f=\frac{40}{200}=0{,}2$ .
Demi-largeur : $\frac{1}{\sqrt{200}}\approx 0{,}0707$ .
Intervalle de $p$ : environ $[0{,}129 ; 0{,}271]$ .
Comme $N=\frac{100}{p}$ diminue quand $p$ augmente, la plus petite valeur de $N$ s'obtient avec la borne haute : $N\approx\frac{100}{0{,}2707}\approx 369{,}4$ .
La plus grande valeur plausible vaut $\frac{100}{0{,}1293}\approx 773$ : l'estimation de $N$ est donc très large, entre environ 369 et 773 renards.

Un seul échantillon de 200 renards donne une estimation très imprécise de l'effectif. L'estimation directe $N=\frac{100}{0{,}2}=500$ se trouve bien dans cette fourchette, mais ne dit rien de sa fiabilité.

Exercice 6 Faux positifs dans un test médical

★★☆Environ 15 min

Un test de dépistage est appliqué à 1 000 personnes. Parmi elles, 50 sont malades et 950 sont saines. Le test est positif pour 45 des malades et pour 95 des personnes saines.

Un faux positif est une personne saine dont le test est positif. Parmi toutes les personnes dont le test est positif, quelle est la proportion de personnes réellement malades ? Donne le résultat décimal arrondi au dix-millième.

Indice 1

Compte d'abord le nombre total de tests positifs : malades positifs plus faux positifs.

Indice 2

La proportion cherchée a pour dénominateur ce total, et non 1 000.

Voir la correction pas à pas

Tests positifs chez les malades : 45.
Faux positifs (personnes saines au test positif) : 95.
Total des tests positifs : $45+95=140$ .
Proportion de malades parmi les tests positifs : $\frac{45}{140}\approx 0{,}3214$ .

Même avec un test qui détecte 45 malades sur 50, moins d'un test positif sur trois correspond à une personne réellement malade, car les personnes saines sont bien plus nombreuses. Le programme demande justement d'étudier les faux positifs et les faux négatifs dans les tests médicaux ¹.

Exercice 7 Demi-vie et nombre de noyaux restants

★★★Environ 12 min

Un échantillon contient au départ 4 000 noyaux radioactifs d'une même espèce. À chaque durée égale à la demi-vie, le nombre de noyaux restants est divisé par 2. Combien reste-t-il de noyaux au bout de trois demi-vies ?

Indice 1

Divise par 2 successivement, une fois par demi-vie.

Indice 2

Tu peux aussi écrire le résultat comme $4000\times\left(\frac{1}{2}\right)^3$ .

Voir la correction pas à pas

Après 1 demi-vie : $4000\div 2=2000$ noyaux.
Après 2 demi-vies : $2000\div 2=1000$ noyaux.
Après 3 demi-vies : $1000\div 2=500$ noyaux.
Vérification : $4000\times\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{4000}{8}=500$ .

Le programme prévoit l'étude du nombre de noyaux radioactifs présents au bout d'une fraction de demi-vie ¹. Pour un très grand nombre de noyaux, cette évolution est régulière ; pour quelques noyaux seulement, une simulation montrerait une fluctuation autour de cette valeur théorique.

Exercice 8 Combien de tirages pour une précision donnée ?

★★★Environ 15 min

On simule un jeu à deux issues avec une fréquence de succès $f$ et on utilise l'intervalle de confiance $\left[f-\frac{1}{\sqrt{n}} ; f+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ à 95 %.

Quelle est la demi-largeur de l'intervalle pour $n=100$ ?
Quelle taille d'échantillon $n$ faut-il pour que la demi-largeur soit égale à 0,02 ?

Indice 1

Pour la question 2, résous l'équation $\frac{1}{\sqrt{n}}=0{,}02$ .

Indice 2

Isole $\sqrt{n}$ puis élève au carré.

Voir la correction pas à pas

Pour $n=100$ : $\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}=0{,}1$ .
Pour la précision 0,02, on pose $\frac{1}{\sqrt{n}}=0{,}02$ .
On en déduit $\sqrt{n}=\frac{1}{0{,}02}=50$ .
On élève au carré : $n=50^2=2500$ .

Pour diviser la demi-largeur par 5 (de 0,1 à 0,02), il faut multiplier la taille de l'échantillon par 25. Gagner en précision coûte donc cher en nombre de tirages : c'est ce que l'on constate quand on simule des échantillons de plus en plus grands et que les fréquences se stabilisent ³.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi l'estimation par capture-recapture n'est-elle jamais exacte ?

Chaque échantillon de recapture contient sa propre part d'individus marqués, donc conduit à sa propre estimation de l'effectif ⁴. C'est pour cela qu'on associe à la proportion un intervalle de confiance plutôt que de la présenter comme une valeur certaine.

Comment savoir si je dois calculer une fréquence ou un intervalle de confiance ?

Si l'énoncé demande la proportion observée dans un échantillon, c'est une fréquence : effectif divisé par taille de l'échantillon. S'il demande de généraliser à toute la population ou de juger la précision d'une estimation, il faut un intervalle de confiance, avec la formule fournie par l'énoncé ⁴.

À quoi sert une simulation si on connaît déjà la probabilité ?

Elle permet d'observer concrètement la fluctuation des résultats et leur stabilisation quand l'échantillon grandit ³. Elle sert aussi à étudier des situations dont le calcul exact est difficile, ou à valider ou invalider un modèle ¹.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale · Bulletin officiel de l'Éducation nationale (BOEN)

Programme de mathématiques intégré à l'enseignement scientifique en classe de première générale, Bulletin officiel de l'Éducation nationale (BOEN). Consulté le 6 novembre 2026.
Programmes et ressources en enseignement scientifique - voie générale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie GT, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources d'accompagnement - Enseignement scientifique et mathématiques intégrées, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
A G I R - Mathématiques Première : Compétences et statistiques & probabilités, Réseau Canopé. Consulté le 6 novembre 2026.
A G I R - Mathématiques : Statistiques & probabilités (collège-lycée), Réseau Canopé. Consulté le 6 novembre 2026.

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