Numérique et sciences informatiques (spécialité) · Première

Booléens et logique : cours de NSI en Première

Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un booléen est une valeur à deux états, vrai ou faux, qui représente une valeur de vérité ; il doit son nom à George Boole, au milieu du XIXe siècle.
Les opérateurs logiques de base sont ET, OU et NON ; le ET donne vrai si et seulement si ses deux opérandes sont vrais.
Vrai et faux se codent par 1 et 0 : c'est ce qui relie la logique aux bits des circuits.
Une table de vérité liste toutes les combinaisons d'entrées : avec $n$ variables, elle compte $2^n$ lignes.
Les comparaisons (>, ==…) produisent des booléens, et ce sont eux qui pilotent if et while.
Certains langages, comme Lisp ou les premières versions du C, n'avaient pas de type booléen dédié et utilisaient d'autres valeurs pour représenter vrai et faux.

Introduction : pourquoi parler de logique en informatique

Quand un jeu vidéo décide si ton personnage a encore de la vie, quand un site vérifie que ton mot de passe est correct ou qu'une application teste si tu es majeur, une même question revient : est-ce vrai ou faux ? Toute la puissance d'un programme repose sur des réponses de ce type, enchaînées par millions.

Dans ce cours de NSI, tu vas voir comment l'informatique représente cette idée toute simple : la valeur de vérité. Tu verras le type booléen, les opérateurs qui combinent des valeurs de vérité, les tables de vérité pour raisonner sans te tromper, puis la manière dont les langages de programmation traitent tout cela, avec des différences parfois surprenantes.

Tu as déjà étudié l'écriture des entiers en base 2, 10 et 16, les entiers relatifs et les flottants. Ce chapitre est la suite naturelle : après les nombres, une autre sorte de données, plus petite mais omniprésente. Il prépare aussi le chapitre suivant, sur l'encodage des caractères (ASCII et Unicode).

Ce cours t'entraîne à raisonner avec rigueur et à employer les bons mots : opérande, opérateur, table de vérité.

La spécialité est très concrète : on y programme surtout en Python, mais on y rencontre aussi HTML, CSS et JavaScript ², puis SQL en Terminale. Les booléens existent dans tous ces univers, et tu en retrouveras la logique partout.

Le type booléen : deux valeurs seulement

Prends une variable qui répond à la question « l'utilisateur est-il connecté ? ». La réponse ne peut être que oui ou non : il n'existe pas de « un peu connecté ». Un booléen est exactement fait pour ça. Il joue le rôle d'un interrupteur : allumé ou éteint, rien d'autre.

Le mot vient d'un nom propre : George Boole, qui a fondé au milieu du XIXe siècle l'algèbre qui porte son nom ³. Cette algèbre précède donc de très loin les ordinateurs, mais elle leur convient à merveille, car un ordinateur manipule des signaux à deux niveaux.

ExemplePremières valeurs booléennes en Python

connecte = True
majeur = False
print(connecte)   # affiche True
print(majeur)     # affiche False

Les deux variables ci-dessus contiennent chacune un booléen. On n'a pas besoin d'autre valeur pour répondre à une question fermée.

L'opérateur ET (conjonction)

Cette règle correspond à l'usage du mot « et » dans la vie courante. La phrase « je sors si j'ai fini mes devoirs et s'il ne pleut pas » n'autorise la sortie que si les deux conditions sont réunies. Dès qu'une seule manque, c'est non.

On note le ET avec le symbole $\land$ , ou bien avec le signe de la multiplication ⁴. Cette seconde notation n'est pas un hasard, comme tu le verras avec la table de vérité.

ExempleTable de vérité du ET

Avec $a$ et $b$ pour opérandes, en codant vrai par 1 et faux par 0 :

$a$	$b$	$a \land b$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Une seule ligne sur quatre donne 1. Remarque que le résultat est égal au produit $a \times b$ : $1 \times 1 = 1$ , et tout produit contenant un 0 vaut 0. C'est pourquoi le signe de la multiplication peut représenter le ET ⁴.

Table de vérité du ET
a	b	a ET b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Table de vérité du ET · Le ET ne vaut 1 que si les deux entrées valent 1.

ExempleLe ET en Python

age = 17
autorisation = True
peut_entrer = age >= 16 and autorisation
print(peut_entrer)   # True

Ici age >= 16 vaut True et autorisation vaut True. Les deux opérandes sont vrais, donc le résultat est True. Si l'âge valait 14, la première condition serait fausse et le résultat serait False, quelle que soit l'autorisation.

Les autres opérateurs : OU et NON

Le ET n'est pas seul. Les langages de programmation fournissent aussi un opérateur pour le OU et un pour le NON. Par exemple, le FORTRAN IV (1962) proposait les opérateurs logiques .NOT., .AND. et .OR. ³, et le langage C écrit les siens avec les symboles &&, || et ! ³. Les trois opérateurs de base sont donc : NON, ET, OU.

Pour raisonner, on se donne les règles de calcul suivantes. Ce sont des conventions de la logique que tu dois connaître par cœur.

ExempleCombiner les trois opérateurs

Tu veux écrire une condition pour une réduction : elle s'applique si le client a moins de 12 ans ou plus de 65 ans, et s'il n'a pas déjà utilisé de code promo.

reduction = (age < 12 or age > 65) and not deja_promo

Les parenthèses sont nécessaires : sans elles, Python calcule le and avant le or et lirait age < 12 or (age > 65 and not deja_promo), ce qui n'est pas la règle voulue. Prends l'habitude de parenthéser les expressions mêlant ET et OU, même quand le langage a des règles de priorité.

Construire et utiliser une table de vérité

Démonstration · Montrer que $\neg(a \land b)$ est équivalent à $\neg a \lor \neg b$

On dresse la table des deux expressions.

$a$	$b$	$a \land b$	$\neg(a \land b)$	$\neg a$	$\neg b$	$\neg a \lor \neg b$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Les colonnes « $\neg(a \land b)$ » et « $\neg a \lor \neg b$ » sont identiques sur les quatre lignes. Les deux expressions sont équivalentes. Cette égalité s'appelle une loi de De Morgan ; elle permet de réécrire une condition « il est faux que les deux soient vrais » en « l'un des deux au moins est faux ».

Les booléens dans les circuits

Le ET n'est pas qu'une idée abstraite : il se fabrique. On peut le simuler avec deux interrupteurs de type normalement ouvert, branchés en série, et une lampe qui joue le rôle du résultat ⁴. La lampe ne s'allume que si le premier interrupteur et le second sont fermés : c'est exactement la règle du ET.

La fonction ET est aussi facile à réaliser avec deux diodes et une résistance ⁴. Dans l'industrie, on trouve des circuits intégrés qui regroupent plusieurs portes : le circuit 7408 contient quatre portes logiques de type ET ⁴.

Retiens le fil conducteur : une valeur de vérité devient un bit, un bit devient un niveau électrique, et une porte logique combine ces niveaux selon une table de vérité. Les opérations que tu écris en Python reposent, plusieurs étages plus bas, sur ces portes.

Les booléens dans les langages de programmation

Tous les langages ne traitent pas les booléens de la même façon. Certains ont un type dédié, d'autres s'en passent. Cette diversité a une histoire, et elle explique des comportements parfois déroutants.

Comparaisons et conditions dans un programme

Le lieu où les booléens servent le plus est la condition. Le langage Pascal en donne une illustration nette : chez lui, une comparaison, une opération logique ou une instruction conditionnelle a pour résultat un booléen ³. Cette idée traverse les langages : une comparaison produit une valeur de vérité, et cette valeur décide quelle branche du programme est exécutée.

ExempleUne comparaison produit un booléen

x = 12
print(x > 10)      # True
print(x == 7)      # False
print(x != 7)      # True
print(5 <= x <= 15)  # True

Chaque ligne print affiche une valeur de vérité. On peut stocker ce résultat dans une variable, le passer à une fonction ou le combiner avec and, or, not.

ExempleAnnée bissextile

Pour savoir si une année est bissextile, on pose la règle : divisible par 4 et pas divisible par 100, ou divisible par 400.

def bissextile(annee):
    return (annee % 4 == 0 and annee % 100 != 0) or annee % 400 == 0

print(bissextile(2024))  # True
print(bissextile(1900))  # False
print(bissextile(2000))  # True

Pour 1900 : divisible par 4, mais aussi par 100, donc le premier groupe est faux ; non divisible par 400, donc le second est faux ; le OU final donne faux. Pour 2000 : le premier groupe est faux (divisible par 100), mais le second est vrai, donc le résultat est vrai.

Pièges et bonnes pratiques

Les erreurs de logique ne font pas planter le programme : elles le font répondre faux avec aplomb. C'est ce qui les rend difficiles à repérer. Voici les pièges les plus classiques.

Exercices corrigés

Exercice 1 Évaluer des expressions logiques

★☆☆Environ 8 min

On pose $a =$ vrai, $b =$ faux et $c =$ vrai. Donne la valeur (vrai ou faux) de chacune des expressions suivantes :

$a \land b$
$a \lor b$
$\neg b \land c$
$(a \land b) \lor c$
$\neg(a \land c)$

Indice 1

Remplace d'abord chaque lettre par sa valeur, puis calcule les parenthèses en premier.

Indice 2

Le ET donne vrai seulement si les deux opérandes sont vrais ; le OU donne faux seulement si les deux sont faux.

Voir la correction pas à pas

Pour $a \land b$ : $a$ est vrai mais $b$ est faux, les deux ne sont pas vrais, donc le résultat est faux.
Pour $a \lor b$ : $a$ est vrai, il suffit d'un opérande vrai, donc le résultat est vrai.
Pour $\neg b \land c$ : $\neg b$ vaut vrai (le contraire de faux) et $c$ est vrai, donc le ET donne vrai.
Pour $(a \land b) \lor c$ : la parenthèse vaut faux, mais $c$ est vrai, donc le OU donne vrai.
Pour $\neg(a \land c)$ : la parenthèse vaut vrai (les deux sont vrais), donc la négation donne faux.

Les résultats sont : faux, vrai, vrai, vrai, faux. La méthode est toujours la même : substituer, calculer de l'intérieur vers l'extérieur, appliquer la règle de chaque opérateur.

Exercice 2 Compter les lignes d'une table de vérité

★★☆Environ 10 min

Une alarme dépend de trois capteurs booléens $p$ (porte), $f$ (fenêtre) et $m$ (mouvement). Elle sonne si la porte ou la fenêtre est ouverte, et si un mouvement est détecté : $(p \lor f) \land m$ .

Combien de lignes compte la table de vérité complète de cette expression ?

Indice 1

Chaque capteur a deux valeurs possibles ; multiplie les possibilités.

Indice 2

Pour $n$ variables, le nombre de combinaisons est $2^n$ .

Voir la correction pas à pas

Il y a trois variables, chacune à deux valeurs : la table compte $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ lignes.
Pour aller plus loin, cherche les lignes où l'alarme sonne : il faut $m = 1$ , ce qui laisse 4 lignes.
Parmi elles, on exclut le cas $p = 0$ et $f = 0$ : il reste 3 lignes où l'alarme sonne.
Réponse à la question posée : la table a 8 lignes.

La table complète compte 8 lignes, et l'alarme sonne dans 3 d'entre elles. Compter par un raisonnement (et non en listant au hasard) évite d'oublier un cas.

Exercice 3 Un test écrit en Python

★★☆Environ 12 min

Un site accorde l'accès à un espace si l'utilisateur a au moins 16 ans et a accepté les conditions, ou s'il est administrateur.

Écris l'expression Python correspondante, avec les variables age, accepte et admin.
Donne sa valeur pour age = 15, accepte = True, admin = False.
Donne sa valeur pour age = 15, accepte = True, admin = True.

Indice 1

Regroupe par des parenthèses la partie « au moins 16 ans et conditions acceptées ».

Indice 2

Relie ce groupe à admin par un or.

Voir la correction pas à pas

Le premier groupe s'écrit age >= 16 and accepte.
On relie par OU : (age >= 16 and accepte) or admin.
Pour age = 15, accepte = True, admin = False : age >= 16 est faux, donc le groupe est faux ; admin est faux ; le OU donne False.
Pour age = 15, accepte = True, admin = True : le groupe est faux mais admin est vrai ; le OU donne True.

L'expression est (age >= 16 and accepte) or admin. Elle donne False dans le premier cas et True dans le second : le statut d'administrateur suffit, quel que soit l'âge.

Exercice 4 Booléens représentés par des entiers

★★★Environ 12 min

Dans le langage C, une comparaison renvoie l'entier 1 si elle est vraie et 0 si elle est fausse. On évalue, avec $i = 7$ et $j = 3$ , l'expression numérique $(i > j) + (i == j) + (j > 1)$ .

Quelle est sa valeur ?

Indice 1

Évalue chaque comparaison séparément : elle vaut 1 ou 0.

Indice 2

Additionne ensuite les trois entiers obtenus.

Voir la correction pas à pas

$i > j$ revient à $7 > 3$ , qui est vrai : la valeur est 1.
$i == j$ revient à $7 = 3$ , qui est faux : la valeur est 0.
$j > 1$ revient à $3 > 1$ , qui est vrai : la valeur est 1.
On additionne : $1 + 0 + 1 = 2$ .

La valeur est 2. Ce calcul n'est possible que parce que le vrai et le faux sont représentés par des entiers, ce qui n'est pas le cas de tous les langages.

Les questions qu'on se pose

À quoi servent les booléens dans un vrai programme ?

Ils pilotent toutes les décisions : les conditions if, les boucles while, les filtres de recherche, les vérifications de mot de passe. Une comparaison produit une valeur de vérité, et c'est elle qui décide quelle partie du code s'exécute ³. Sans booléens, un programme ne pourrait pas réagir à des données.

Pourquoi dit-on qu'un booléen se code sur un bit ?

Parce qu'il n'a que deux états et qu'un bit en a deux aussi : les valeurs vrai et faux peuvent être représentées par 1 et 0 ⁴. Dans un programme réel, le langage peut réserver plus d'espace en mémoire (en C, les booléens sont souvent représentés par des entiers ³), mais l'information utile reste un seul bit.

Comment savoir si deux conditions sont équivalentes ?

Dresse la table de vérité des deux expressions. Si les colonnes finales sont identiques sur toutes les lignes, elles sont équivalentes. Comme le nombre de lignes est fini ( $2^n$ pour $n$ variables), cette vérification est complète.

Quelle est la différence entre ET et OU ?

Le ET exige que les deux opérandes soient vrais pour être vrai ⁴. Le OU se contente d'un opérande vrai. Sur une table à deux variables, le ET est vrai sur une ligne sur quatre, le OU sur trois lignes sur quatre.

Est-ce que 0 est toujours faux et tout le reste vrai ?

Non, cela dépend du langage. En C, le zéro est faux et toute valeur non nulle est vraie dans les tests if ou while ³. En Common Lisp, c'est la liste vide qui représente faux ³. Renseigne-toi sur la règle du langage utilisé avant d'employer une valeur non booléenne comme condition.

Sources

Programme visé : Programme officiel NSI Première - Représentation des données : types et valeurs de base · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme officiel NSI Première - Représentation des données : types et valeurs de base, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
La spécialité Numérique et Sciences Informatiques au bac, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Booléen, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction logique ET, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Introduction : pourquoi parler de logique en informatique

Le type booléen : deux valeurs seulement

L'opérateur ET (conjonction)

Les autres opérateurs : OU et NON

Construire et utiliser une table de vérité

Les booléens dans les circuits

Les booléens dans les langages de programmation

Comparaisons et conditions dans un programme

Pièges et bonnes pratiques

Exercices corrigés

Exercice 1 Évaluer des expressions logiques

Exercice 2 Compter les lignes d'une table de vérité

Exercice 3 Un test écrit en Python

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