Représentation des entiers relatifs : exercices corrigés de 1re NSI

Sur $n$ bits, l'intervalle des naturels représentables est $[0\,;\,2^n-1]$ ².

Ici $n = 8$, donc la borne supérieure est $2^8 - 1$.

On calcule $2^8 = 256$, donc $2^8-1 = 255$.

Vérification : $11111111_2 = 128+64+32+16+8+4+2+1 = 255$.

Un mot $e_7e_6\dots e_0$ vaut $\sum e_i \times 2^i$ ².

Les bits égaux à 1 sont aux rangs 5, 3, 2 et 0.

On additionne les puissances correspondantes : $2^5+2^3+2^2+2^0 = 32+8+4+1$.

On obtient $45$.

On écrit $5 = 4+1$, donc $5$ s'écrit 00000101 sur 8 bits.

On inverse chaque bit : 11111010.

On ajoute 1 : 11111010 + 1 = 11111011. Ce mot représente $-5$.

Lu comme un naturel, 11111011 vaut $128+64+32+16+8+2+1 = 251$.

Contrôle : $2^8 - 5 = 256 - 5 = 251$. Les deux méthodes concordent.

Le bit de poids fort vaut 1 : le relatif est négatif.

Valeur du naturel lu : $128+64+32+16+4+2 = 246$.

On retranche $2^8$ : $246 - 256 = -10$.

Vérification : le complément à deux de $10$ est $256-10=246$, soit 11110110. On retrouve le mot de départ.

Les mots commençant par 0 vont de 000000 à 011111, soit les naturels de 0 à 31 : ce sont les valeurs de 0 à 31.

Les mots commençant par 1 vont de 100000 (naturel 32) à 111111 (naturel 63).

On retranche $2^6 = 64$ : les valeurs vont de $32-64 = -32$ à $63-64=-1$.

La plus petite valeur est donc $-2^5 = -32$ et la plus grande est $2^5-1 = 31$.

$-23$ est représenté par le naturel $256-23 = 233$, soit 11101001 ($128+64+32+8+1$).

$9$ s'écrit 00001001.

Somme des naturels : $233+9 = 242$, soit 11110010 ($128+64+32+16+2$). Aucune retenue ne sort des 8 bits.

Le bit de poids fort vaut 1 : on lit $242-256=-14$.

Contrôle avec la règle des signes contraires : on fait la différence des valeurs absolues, $23-9=14$, avec le signe de $-23$, qui a la plus grande valeur absolue ³. On trouve bien $-14$.

$100 = 64+32+4$ s'écrit 01100100 ; $50 = 32+16+2$ s'écrit 00110010.

Leur somme vaut $150$, soit 10010110 ($128+16+4+2$).

Le bit de poids fort vaut 1, donc on lit $150-256=-106$.

Le résultat exact d'une telle addition peut sortir de l'intervalle représentable sur $n$ bits ² : ici $150$ dépasse $2^7-1 = 127$, la plus grande valeur positive représentable sur 8 bits.

Sur 16 bits, le naturel qui représente $-10$ est $2^{16}-10 = 65536-10 = 65526$.

$10$ s'écrit 0000000000001010 sur 16 bits ; on inverse : 1111111111110101 ; on ajoute 1 : 1111111111110110.

Ce mot vaut bien 65526 comme naturel.

On remarque que c'est le mot de 8 bits 11110110 précédé de huit bits égaux à 1, c'est-à-dire du bit de signe répété.