Statique des solides : cours de Première SI

Un pont ne bouge pas quand les voitures le traversent. Une grue de chantier soulève une charge sans basculer. Un vélo reste en équilibre sous le poids du cycliste. Dans tous ces cas, des pièces immobiles transmettent des efforts, et il faut savoir calculer ces efforts pour choisir des matériaux, des dimensions et des liaisons adaptés.

C'est le rôle de la statique du solide : elle étudie l'équilibre des pièces dans un mécanisme, et c'est une étape essentielle pour dimensionner les systèmes mécaniques réels ². Sans elle, impossible de dire si une vis va tenir, si un axe va casser ou si un support va plier.

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• repérer le solide ou l'ensemble de solides que tu étudies et l'isoler ;
• lister toutes les actions mécaniques extérieures qui s'exercent sur lui ;
• écrire les équations d'équilibre, puis les résoudre pour trouver les efforts inconnus ;
• choisir entre une résolution analytique (par le calcul) et une résolution graphique (par le dessin).

Tu as déjà vu comment représenter les liaisons entre pièces. Ici, on s'en sert pour savoir quels efforts elles peuvent transmettre.

En mécanique du point, tout est simple : toutes les forces s'appliquent au même endroit, et le point ne peut pas tourner sur lui-même. Les forces suffisent alors à changer sa position ². Il suffit que la somme vectorielle des forces soit nulle pour que l'équilibre soit assuré.

Un solide, lui, a une taille. Les forces s'appliquent à des endroits différents, et un même ensemble de forces peut le faire avancer et le faire tourner. Imagine une porte : si tu pousses près des gonds, elle résiste ; si tu pousses au bord opposé, elle s'ouvre facilement. La force est la même, mais son effet de rotation change avec le point d'application.

Avant d'écrire la moindre équation, on décide quel système on étudie. Isoler un solide, c'est tracer mentalement une frontière autour de lui : tout ce qui est dedans est le système, tout ce qui est dehors agit sur lui de l'extérieur.

Le choix de ce qu'on isole est stratégique. On cherche un solide sur lequel s'exercent peu d'actions inconnues, pour avoir peu d'inconnues à calculer.

Les liaisons jouent ici un rôle direct. La statique du solide tient compte des efforts transmissibles par chaque liaison mécanique : l'étude de la liaison donne d'avance certaines caractéristiques des forces et des moments échangés entre deux solides. Le but est ensuite de déterminer complètement tous les efforts inconnus ².

Par exemple, une liaison pivot parfaite ne transmet aucun moment autour de son axe : cette information réduit le nombre d'inconnues avant même de calculer.

Le premier théorème garantit que le solide ne se déplace pas. Le second garantit qu'il ne tourne pas. Il faut les deux.

Un solide occupe un volume à trois dimensions. Pourtant, on peut souvent travailler en géométrie plane : c'est possible lorsque les vecteurs forces n'ont que deux composantes, donc quand tout se passe dans un plan, que l'on note $(O, x, y)$ ². C'est le cas de la plupart des problèmes de Première : poutre chargée verticalement, levier, bras de grue vu de côté, plan incliné.

Certains équilibres se résolvent sans calcul, parce que la géométrie impose des conditions simples. Ils permettent de gagner du temps et de contrôler un résultat. Sur des pièces dont seuls deux points sont chargés (une bielle, un vérin, une barre articulée à ses deux extrémités), tu les rencontreras très souvent.

Le bilan des actions contient presque toujours des inconnues liées aux liaisons. Une liaison parfaite transmet certains efforts et pas d'autres. On l'a vu : la connaissance de la liaison indique d'avance des caractéristiques des forces et des moments échangés ².

Quelques exemples, avec des liaisons parfaites sans frottement dans un problème plan :

• appui simple (ponctuel) : une force perpendiculaire à la surface de contact, soit 1 inconnue (son intensité) ;
• pivot : une force passant par le centre de l'articulation, de direction inconnue, soit 2 inconnues ;
• encastrement : une force de direction inconnue et un moment, soit 3 inconnues.

Plus la liaison bloque de mouvements, plus elle transmet d'inconnues d'effort. Un problème plan est résoluble par la statique seule si le nombre d'inconnues ne dépasse pas le nombre d'équations indépendantes, soit trois.

Ce formalisme demande beaucoup d'écritures à la main, mais il permet une résolution systématique des problèmes de statique et se prête bien à un traitement informatique. Sa forme analytique autorise aussi une modélisation paramétrée : on obtient les résultats pour toutes les positions d'un mécanisme. L'étude graphique est plus rapide, mais elle doit être refaite pour chaque position ².

En Première, tu écris surtout les équations « à la main » comme plus haut. Le torseur te sera utile pour structurer ce travail quand les problèmes passeront à trois dimensions.

Il existe deux familles de méthodes pour exploiter le PFS. La méthode analytique écrit les équations et les résout. La méthode graphique dessine les forces à l'échelle.

La méthode graphique permet d'éviter de nombreuses lignes de calcul et de mieux visualiser le dispositif. En contrepartie, la qualité des résultats dépend de la précision du tracé et des mesures. Si la précision demandée n'est pas élevée, ce qui arrive souvent en industrie où les pièces sont surdimensionnées, ces résultats suffisent ³.