Statique des solides : exercices corrigés de Première SI

On écrit le moment de la charge par rapport à $O$ : $M_1 = 200 \times 0{,}5 = 100$ N·m.

Le moment de la force $F$ vaut $M_2 = F \times 0{,}2$ et tourne dans l'autre sens.

Équilibre en rotation : $M_1 = M_2$, soit $200 \times 0{,}5 = F \times 0{,}2$.

On isole $F$ : $F = \dfrac{200 \times 0{,}5}{0{,}2} = 500$ N.

On isole la masse. Elle subit son poids $\vec{P}$ (vertical, vers le bas) et la tension $\vec{T}$ du câble (vertical, vers le haut).

Le poids vaut $P = m \times g = 12 \times 9{,}81 = 117{,}72$ N.

Le solide est immobile, donc la somme des forces est nulle : $\vec{P} + \vec{T} = \vec{0}$.

En projetant sur la verticale : $T - P = 0$, donc $T = 117{,}72$ N.

On place un repère $(O, x, y)$ avec $x$ horizontal et $y$ vertical : la force a alors deux composantes, ce qui permet un traitement plan ².

La composante verticale est le côté opposé à l'angle de $30°$ : $F_y = F \times \sin 30°$.

On calcule : $F_y = 300 \times 0{,}5 = 150$ N.

Par cohérence, la composante horizontale vaut $F_x = 300 \times \cos 30° \approx 259{,}8$ N, et $F_x^2 + F_y^2 = 300^2$.

Le tracé est fait à l'échelle des forces choisie au départ : 1 cm correspond à 100 daN ³.

Longueur mesurée $\times$ échelle : $3{,}6 \times 100 = 360$ daN.

Conversion : $360 \times 10 = 3\,600$ N.

On isole la poutre. Les forces verticales sont : la charge $800$ N vers le bas, $R_A$ et $R_B$ vers le haut.

On écrit la somme des moments en $A$ : la charge tourne dans un sens, $R_B$ dans l'autre. Donc $R_B \times 4 = 800 \times 1$.

On isole : $R_B = \dfrac{800 \times 1}{4} = 200$ N.

Somme des forces verticales nulle : $R_A + R_B - 800 = 0$, donc $R_A = 800 - 200 = 600$ N.

Contrôle : l'appui le plus proche de la charge supporte la plus grande part, ce qui est cohérent.

Le bloc subit trois forces : son poids $\vec{P}$, la réaction $\vec{N}$ du plan (perpendiculaire au plan, car sans frottement) et la tension $\vec{T}$ (parallèle au plan, vers le haut de la pente).

Poids : $P = 50 \times 10 = 500$ N.

Projection du poids sur l'axe du plan : $P \sin 30° = 500 \times 0{,}5 = 250$ N, dirigée vers le bas de la pente.

Somme des forces nulle selon l'axe du plan : $T - P \sin 30° = 0$, donc $T = 250$ N.

Selon l'axe perpendiculaire : $N = P \cos 30°$, ce qui fixe la réaction sans modifier $T$.

Poids de la poutre : $P = 20 \times 10 = 200$ N, appliqué à $3$ m de $A$ (milieu de la poutre).

Moments en $A$ : $R_B \times 6 = 200 \times 3 + 500 \times 4{,}5$.

Calcul du second membre : $600 + 2\,250 = 2\,850$ N·m.

D'où $R_B = \dfrac{2\,850}{6} = 475$ N.

Forces verticales : $R_A + R_B = 200 + 500 = 700$ N, donc $R_A = 700 - 475 = 225$ N.

Contrôle : la charge est plus proche de $B$, et $R_B > R_A$.

Isolons le nœud $C$. Trois forces s'y exercent : la charge $1\,000$ N vers le bas, la tension $\vec{T}$ dirigée vers $B$ (inclinée de $30°$ au-dessus de l'horizontale) et l'action $\vec{F}$ de la barre, horizontale.

Projection sur la verticale : $T \sin 30° - 1\,000 = 0$.

On isole : $T = \dfrac{1\,000}{\sin 30°} = \dfrac{1\,000}{0{,}5} = 2\,000$ N.

Projection sur l'horizontale : le câble tire $C$ vers le mur avec $T \cos 30° \approx 1\,732$ N, donc la barre pousse $C$ vers l'extérieur avec $F \approx 1\,732$ N.

La barre est donc comprimée, et le câble tendu.

Moments en $A$ : $R_B \times 5 = 600 \times x$.

On impose $R_B = 300$ N : $300 \times 5 = 600 \, x$.

On résout : $x = \dfrac{1\,500}{600} = 2{,}5$ m.

Contrôle : les deux appuis portent chacun $300$ N, la charge est au milieu de la poutre, ce qui est cohérent.