Fonctions et lectures graphiques : cours de Terminale techno

Dans le programme d'automatismes de mathématiques, les lectures graphiques font partie des savoir-faire à maîtriser avec les fonctions usuelles.¹ Ces exercices demandent de lire des nombres et leurs images sur un graphique, d'interpréter des données chiffrées représentées et, souvent, d'expliquer le raisonnement suivi.¹ Autrement dit, il ne suffit pas de « voir » la réponse : il faut savoir dire comment tu l'as trouvée.

Tu rencontres des graphiques partout : l'évolution d'une température, la consommation d'un appareil, le coût d'une production, ou encore l'altitude d'un engin en fonction du temps¹. Savoir les lire vite et sans erreur te fait gagner du temps à l'épreuve et dans tes matières technologiques.

Ce cours reprend les notions dans l'ordre : le vocabulaire, la lecture d'une image et d'un antécédent, les extremums, la fonction affine, le tracé d'une courbe, puis l'interprétation dans un contexte concret. Tu y trouveras des méthodes, des exemples rédigés, les erreurs à éviter, et des exercices corrigés.

Le mot « unique » est important : pour une valeur de $x$ donnée, il n'y a qu'une seule valeur de $f(x)$. En revanche, un même nombre $y$ peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Nous allons le voir sur une courbe.

Les lettres changent selon les problèmes. Dans les automatismes, on rencontre l'emploi de plusieurs lettres pour désigner les variables ou les inconnues, par exemple $t$, $x$ ou $U$.¹ Une fonction peut donc s'écrire $h(t)$ si la variable est un temps $t$, ou $P(U)$ si la variable est une tension $U$. La méthode reste identique : seul le nom de la lettre change.

Cette équivalence est la clé de toutes les lectures graphiques :

• l'abscisse $x$ se lit sur l'axe horizontal ;
• l'ordonnée $y=f(x)$ se lit sur l'axe vertical.

Si la courbe passe par le point $(3\,;\,5)$, alors $f(3)=5$ : l'image de 3 est 5, et 3 est un antécédent de 5.

Déterminer graphiquement les extremums d'une fonction sur un intervalle fait partie des attendus des automatismes.¹ Cela se lit sur la courbe : le maximum correspond au point le plus haut de la courbe, le minimum au point le plus bas, sur l'intervalle étudié.

On distingue bien deux choses :

• la valeur de l'extremum, qui est une ordonnée (une hauteur) ;
• l'abscisse où il est atteint, qui se lit sur l'axe horizontal.

Le programme d'automatismes cite explicitement, pour les fonctions affines, la détermination de l'expression d'une fonction à partir de son coefficient directeur et de son ordonnée à l'origine, la détermination graphique du coefficient directeur, et son interprétation.¹ Ce sont donc des gestes à connaître parfaitement.

Il y a trois cas, selon le signe de $a$ :

• si $a>0$, la droite monte quand on se déplace vers la droite : la fonction est croissante ;
• si $a<0$, la droite descend : la fonction est décroissante ;
• si $a=0$, la droite est horizontale : $f(x)=b$ est constante.

Sur la droite tracée ci-dessus, tu peux lire le coefficient directeur sans formule : à partir d'un point de la droite, avance de 1 vers la droite, puis monte de $a$. Ici, quand $x$ augmente de 1, $y$ augmente de 2 : $a=2$. L'ordonnée à l'origine se lit à l'intersection avec l'axe vertical : $b=-1$.

Représenter graphiquement une fonction fait partie des gestes attendus en automatismes.¹ Selon que la fonction est affine ou non, la démarche n'est pas la même.

Les énoncés d'automatismes proposent souvent un graphique issu d'une situation réelle. L'un des exemples du programme présente l'altitude, en mètres, en fonction du temps, en secondes, d'un objet en mouvement.¹ Ici, la variable est le temps, noté $t$, et la fonction donne l'altitude. La lecture se fait comme avant, mais chaque nombre a une unité, qu'il faut écrire dans la réponse.

L'interprétation du coefficient directeur est précisément une compétence citée dans les automatismes sur les fonctions affines.¹ La règle générale est la suivante : le coefficient directeur indique de combien varie la grandeur en ordonnée quand la grandeur en abscisse augmente de une unité.

Les automatismes sont des exercices courts, où l'on te demande de mettre en œuvre un raisonnement que tu dois pouvoir expliciter.¹ La rapidité vient d'une méthode stable. Voici un enchaînement qui marche presque toujours.