Simulation de variables aléatoires : exercices de Terminale

On choisit le seuil : pour un nombre uniforme sur $[0\,;\,1]$, la probabilité d'être inférieur à $0{,}3$ vaut $0{,}3$. Le seuil est donc $p = 0{,}3$.

On écrit la fonction : def bernoulli(): puis if random() < 0.3: return 1 et else: return 0.

On calcule le nombre attendu de 1 sur les répétitions : chacune donne $1$ avec la probabilité $0{,}3$, donc on attend $1000 \times 0{,}3 = 300$ valeurs égales à $1$.

On précise que ce nombre est une valeur attendue : une simulation réelle donnera un résultat proche de $300$, rarement exactement $300$.

On calcule $Y$ pour $U = 0$ : $Y = 2 + 8 \times 0 = 2$.

On calcule $Y$ pour $U = 1$ : $Y = 2 + 8 \times 1 = 10$. Comme $Y$ augmente avec $U$, il reste entre $2$ et $10$.

On remplace $U$ par $0{,}35$ : $Y = 2 + (10-2) \times 0{,}35$.

On calcule : $8 \times 0{,}35 = 2{,}8$, donc $Y = 4{,}8$.

Les valeurs produites par un programme sont pseudo-aléatoires : elles viennent d'un algorithme et non d'un phénomène physique, si bien que des valeurs parfaitement iid sont impossibles à obtenir ⁴.

Sans graine imposée, le point de départ de l'algorithme est choisi différemment à chaque exécution : la suite de valeurs change, donc les moyennes aussi.

Une graine fixée impose le même point de départ : le programme redonne exactement les mêmes valeurs. C'est utile pour vérifier un programme ou comparer deux versions.

Le choix de la graine doit rester aléatoire à l'origine et ne plus changer ensuite, quand on veut des données qui imitent un échantillon ⁴.

Valeurs de $G$ : $1$ avec un six, $-10$ sinon. Le dé est équilibré, donc $P(G=1)=\frac{1}{6}$ et $P(G=-10)=\frac{5}{6}$.

On écrit l'espérance : $E(G) = 1 \times \frac{1}{6} + (-10) \times \frac{5}{6}$.

On calcule : $E(G) = \frac{1 - 50}{6} = -\frac{49}{6}$.

Valeur approchée : $-\frac{49}{6} \approx -8{,}17$ €. Dans une simulation sur de nombreuses parties, la moyenne des gains doit se rapprocher de cette valeur : le jeu est très défavorable au joueur.

Fonction : def somme(): return randint(1,6) + randint(1,6). Les deux appels donnent des lancers indépendants, comme deux lancers successifs d'un même dé ⁴.

Estimation : on initialise c = 0, puis on répète N fois : if somme() == 7: c = c + 1. À la fin, la fréquence est c / N.

Valeur théorique : les couples de somme $7$ sont $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$, soit $6$ couples sur $36$.

Donc $P(S=7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\approx 0{,}1667$. La fréquence de la simulation doit être proche de cette valeur.

Avec remise, chaque tirage a lieu dans la même situation, donc suit la même loi, et le résultat d'un tirage ne dépend pas des précédents : les tirages sont iid ⁴.

Avec remise : $P(\text{deux rouges}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0{,}36$.

Sans remise : $P(R_1) = \frac{3}{5}$. Après un tirage rouge, il reste $2$ rouges parmi $4$ boules, donc $P_{R_1}(R_2) = \frac{2}{4}$.

On multiplie : $P(R_1 \cap R_2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10} = 0{,}3$.

Comparaison : $0{,}3 < 0{,}36$. Sans remise, tirer une rouge rend une seconde rouge moins probable : les deux tirages ne sont plus indépendants.

Fonction : on pose s = 0, on répète 5 fois if random() < 0.2: s = s + 1, puis return s. Les appels successifs de random() fournissent des nombres indépendants ².

Nombre de suites avec deux succès : $\binom{5}{2} = 10$.

Probabilité d'une suite donnée, par exemple SSEEE avec S pour succès et E pour échec : $0{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}04 \times 0{,}512$, grâce à l'indépendance qui permet de multiplier.

On additionne les $10$ suites : $P(S=2) = 10 \times 0{,}04 \times 0{,}512 = 0{,}2048$.

Sans indépendance, on ne pourrait pas multiplier les probabilités des épreuves successives pour obtenir celle d'une suite.

Un échec a pour probabilité $0{,}75$. Par indépendance, $P(\text{aucun succès}) = 0{,}75^n$.

Donc $P(\text{au moins un succès}) = 1 - 0{,}75^n$.

Algorithme : n = 0, q = 1, puis while 1 - q < 0.99: on fait n = n + 1 et q = q * 0.75. À la sortie, on renvoie n.

Résolution par le calcul : $1 - 0{,}75^n \ge 0{,}99 \iff 0{,}75^n \le 0{,}01 \iff n \ge \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}75}$, car $\ln 0{,}75 < 0$ renverse l'inégalité.

Application numérique : $\frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}75} \approx 16{,}01$. Le plus petit entier convenable est $n = 17$.

Contrôle : pour $n = 16$, $0{,}75^{16} \approx 0{,}0100$, juste au-dessus de $0{,}01$ ; pour $n = 17$, $0{,}75^{17} \approx 0{,}0075 \le 0{,}01$.

Fonction : def gain(): puis if randint(1,6) == 6: return 1 et else: return -10.

Programme : total = 0, on répète N fois total = total + gain(), puis M = total / N.

Cohérence : $E(G) = -\frac{49}{6} \approx -8{,}17$ et $-8{,}2$ en est très proche. Avec 100 000 parties indépendantes et identiques, la moyenne se stabilise près de l'espérance ⁴.

Valeur $-0{,}83$ : si l'on gagne avec la probabilité $\frac{5}{6}$ au lieu de $\frac{1}{6}$, l'espérance devient $1 \times \frac{5}{6} + (-10) \times \frac{1}{6} = -\frac{5}{6} \approx -0{,}83$. L'erreur probable est un test inversé, par exemple if randint(1,6) != 6: return 1 ou if randint(1,6) > 1: return 1 : le joueur gagne alors quand il n'obtient pas six.

Méthode de contrôle : calculer d'abord l'espérance théorique, puis relire la condition du if et la gestion du compteur avant de lancer d'autres simulations.