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Simulation de variables aléatoires : quiz de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une variable aléatoire associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire 3.
- En Python, des appels successifs à
random()fournissent des variables indépendantes de loi uniforme sur [0, 1] 2. - Pour simuler une loi de Bernoulli de paramètre , on teste
random() < p; pour une loi binomiale , on compte les succès sur répétitions indépendantes. - Des variables iid sont indépendantes et suivent toutes la même loi 4 ; les valeurs simulées ne sont que pseudo-aléatoires 4.
Avant de commencer
Ce quiz couvre la simulation de variables aléatoires, telle qu'on la rencontre en Terminale dans la partie algorithmique et programmation. Tu y retrouveras la notion de variable aléatoire, les variables indépendantes et identiquement distribuées, la simulation d'une épreuve de Bernoulli et d'une loi binomiale avec la fonction random(), et les limites du hasard produit par un ordinateur.
Pour chaque question, réponds d'abord sans regarder le cours, puis lis toute l'explication : elle précise pourquoi la bonne réponse est juste et pourquoi l'erreur tentante est fausse. Si une question te résiste, reviens sur les notions précédentes du chapitre : les algorithmes de seuil et de dichotomie, puis la méthode d'Euler.
Comment lire les corrections
Quiz
16 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Des variables iid sont à la fois indépendantes et identiquement distribuées, c'est-à-dire de même loi 4. Les deux conditions sont nécessaires. La proposition « loi différente » oublie le caractère identique ; la proposition « dépendent les unes des autres » oublie l'indépendance ; la dernière confond « même loi » avec « même valeur », alors que des variables de même loi peuvent prendre des valeurs différentes d'un tirage à l'autre.
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C'est vrai : pour des lancers successifs d'une même pièce, les résultats suivent la même loi de Bernoulli et ne dépendent pas les uns des autres 4. L'erreur tentante est de croire qu'après plusieurs piles, un face est « dû » : ce serait supposer une dépendance entre lancers, ce que le modèle exclut.
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Avec remise, chaque tirage se fait dans la même situation, donc les résultats suivent la même loi, et ils ne dépendent pas des tirages précédents 4. Sans remise, le contenu de l'urne change et la probabilité du tirage suivant dépend des résultats précédents : les variables ne sont ni de même loi ni indépendantes. Changer le contenu de l'urne casse aussi l'égalité des lois. Ne pas regarder les boules ne change rien au modèle.
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La variable prend la valeur avec la probabilité et la valeur avec la probabilité . Donc €. L'erreur fréquente est d'oublier le signe moins de la perte, ou d'utiliser pour les deux issues, ce qui donne un résultat faux.
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Pour uniforme sur , la probabilité que vaut : c'est le succès recherché.
random() > 0.3etrandom() < 0.7ont toutes deux pour probabilité , soit : c'est la confusion classique entre et son complémentaire.random() == 0.3a une probabilité pratiquement nulle de se réaliser. -
Le nombre de succès suit une loi binomiale , d'espérance . Sur une exécution précise, on obtiendra un nombre proche de 200 mais rarement exactement 200. L'erreur tentante est de répondre 20 ou 800 en confondant , ou en divisant au lieu de multiplier.
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Une loi binomiale est le nombre de succès dans épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre ; or des appels successifs à
random()donnent précisément des variables indépendantes de loi uniforme 2. Multiplier un seul tirage par 10 donne un nombre décimal et non un entier. Recopier ou additionner le même tirage crée une dépendance totale entre les « épreuves » : on perd l'indépendance. -
Ce générateur est conçu pour que chaque appel donne un nombre de loi uniforme sur et que les appels ne dépendent pas les uns des autres 2. Si chaque appel renvoyait la valeur du précédent, il n'y aurait plus aucune indépendance ni aucun hasard. Enfin, la loi uniforme sur porte sur des nombres décimaux, pas sur des entiers.
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C'est faux : on parle de valeurs pseudo-aléatoires, car une indépendance et une loi parfaites ne sont pas atteignables par ordinateur 4. Les méthodes qui reposent sur des calculs de congruence sur les entiers laissent une dépendance résiduelle : on parle de hasard faible 4. En pratique, la simulation suffit pour étudier un modèle, mais elle reste une approximation du hasard.
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Pour une simulation, on tire la graine au hasard une seule fois, puis on la laisse fixe pendant toute la série 4. Si on la réinitialisait à la même valeur avant chaque tirage, on repartirait de la même suite et on retrouverait toujours le même résultat : plus de hasard apparent. Modifier la graine à chaque appel n'améliore pas la qualité de la suite, et dire qu'elle ne sert à rien est faux puisqu'elle détermine la suite produite.
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La méthode de Monte-Carlo fait partie des techniques de calcul qui s'appuient sur de telles variables ; il faut donc savoir les simuler avec un ordinateur 4. La dichotomie et la méthode d'Euler sont des algorithmes déterministes : à données identiques, ils donnent toujours le même résultat, sans tirage aléatoire.
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Une variable aléatoire réelle associe un nombre à chaque issue possible de l'expérience, et l'on doit pouvoir calculer la probabilité qu'elle prenne telle valeur ou appartienne à tel ensemble de valeurs 3. Ce n'est donc pas une probabilité : elle prend des valeurs (par exemple un gain), et c'est qui est comprise entre 0 et 1.
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Le compteur est incrémenté au plus 100 fois et seulement de 1, donc il vaut un entier entre 0 et 100. Il suit une loi binomiale , centrée sur 50, mais 50 n'est pas garanti : d'une exécution à l'autre, la valeur varie. Les réponses « 0 ou 1 » et « décimal entre 0 et 1 » confondent le compteur avec le résultat d'un seul
random(). -
C'est vrai : une variable discrète prend des valeurs bien séparées 3. Ici elle ne peut valoir que 0, 1, 2, …, 10. À l'inverse, la taille d'un individu pris au hasard ressemble davantage à un nombre réel positif 3. L'erreur serait de penser qu'un grand nombre de valeurs possibles rend la variable continue.
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C'est faux : l'indépendance fait partie du modèle choisi dès le départ, et le programme ne demande pas de la justifier pour des variables données a priori 1. On t'indiquera donc dans l'énoncé que les épreuves sont indépendantes, et tu t'en serviras pour simuler et calculer.
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L'espérance d'une loi binomiale est , valeur vers laquelle la moyenne des simulations se rapproche. L'erreur fréquente est de donner , qui est l'espérance du nombre d'échecs, ou , qui est la variance.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi comparer `random()` à `p` pour simuler une épreuve de Bernoulli ?
Parce que random() fournit un nombre de loi uniforme sur 2. Pour une loi uniforme, la probabilité d'obtenir un nombre dans un intervalle inclus dans est la longueur de cet intervalle. Ainsi : le test random() < p est vrai avec la probabilité , ce qui est exactement une épreuve de Bernoulli de paramètre .
Deux exécutions de mon programme de simulation donnent des résultats différents : est-ce un bug ?
Non. Une simulation produit des valeurs pseudo-aléatoires 4, donc deux exécutions donnent en général des résultats différents, comme deux séries de lancers réels. Ces résultats restent proches de ce que prévoit la loi : par exemple, pour on obtient souvent des valeurs voisines de 50, sans être toujours égales à 50.
Quelle est la différence entre « indépendantes » et « identiquement distribuées » ?
Deux variables sont identiquement distribuées si elles suivent la même loi ; elles sont indépendantes si connaître l'une n'influe en rien sur l'autre 4. Les lancers successifs d'une même pièce vérifient les deux conditions 4. Un tirage sans remise dans une urne ne vérifie pas la seconde : le résultat d'un tirage modifie le contenu de l'urne.
Sources
Programme visé : Programme de Mathématiques - Terminale Générale (Spécialité) - Algorithmique et Programmation · Éduscol - Ministère de l'Éducation Nationale
- Programme de Mathématiques - Terminale Générale (Spécialité) - Algorithmique et Programmation, Éduscol - Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Cours de Simulation - Méthodes et Applications, Université de Bordeaux. Consulté le 6 novembre 2026.
- Variable aléatoire réelle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Variables indépendantes et identiquement distribuées, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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