Exemple / preuve : exercices corrigés de philosophie (Terminale)

Phrase A. Le cas du juge et de sa famille rend l'idée d'impartialité concrète, mais il ne démontre pas que la justice exige l'impartialité. C'est une illustration.

Phrase B. Dix cygnes blancs sont dix cas observés. Ils ne permettent pas d'affirmer que tous les cygnes le sont : un seul cygne d'une autre couleur suffirait à réfuter l'affirmation. L'exemple est ici mal utilisé comme preuve.

Phrase C. Les lettres $m$ et $n$ représentent des entiers quelconques : le raisonnement vaut donc pour tous les cas. C'est une preuve, au sens de démonstration mathématique ².

Bilan. Un exemple sert à comprendre ; un raisonnement général sert à établir. Dans la phrase B, on voit en plus la limite d'une généralisation hâtive.

Situation 1. La règle de circulation rend concrète l'idée de limite : elle illustre.

Situation 2. Le bénévolat épanouissant est un cas qui contredit l'affirmation générale : il réfute (ou du moins il oblige à nuancer la formule).

Situation 3. La définition est confrontée à deux cas contrastés : l'exemple sert à la mettre à l'épreuve. Le second cas, l'imprudent, peut montrer qu'elle est trop large.

Situation 4. La scène du quotidien rend le problème sensible avant de l'analyser : elle illustre et prépare la problématique. Elle ne prouve rien encore.

Bilan. Seul le cas qui réfute a une vraie force logique contre une affirmation universelle : un seul contre-exemple suffit, alors que mille exemples favorables ne suffisent jamais à l'établir.

Examiner chaque élément isolément. Le témoignage est vague, la pointure est partagée par beaucoup de gens, la silhouette est anonyme et l'absence d'alibi ne prouve rien par elle-même. Pris seuls, aucun n'établit la vérité : ce sont des indices, car la confiance qu'on peut leur accorder est insuffisante ².

Regarder si les indices convergent. Ils vont tous dans le même sens (une personne grande, du 44, présente sur place sans justification). Des indices concourants peuvent se renforcer et être traités comme une preuve : ils forment alors un faisceau de présomptions ².

Rester prudent sur la conclusion. Ce faisceau rend la culpabilité de Maxime plausible, mais pas certaine. Une pièce supplémentaire pourrait, selon sa nature, augmenter ou diminuer le niveau de confiance, voire rejeter la thèse ².

Formuler la réponse. On ne peut pas parler de preuve certaine ; on peut parler d'un faisceau de présomptions qui appelle une vérification, par exemple chercher un élément qui relie Maxime au lieu précis du vol.

Vérifier les cas. Pour $n=1$ : $1+1=2$. Pour $n=2$ : $4+2=6$. Pour $n=3$ : $9+3=12$. Pour $n=4$ : $16+4=20$. Les quatre résultats sont pairs.

Expliquer la limite. Quatre cas vérifiés ne disent rien des autres entiers. Ils rendent l'énoncé vraisemblable sans l'établir. En mathématiques, le mot « preuve » est parfois employé comme synonyme de démonstration ², et une démonstration doit couvrir tous les cas.

Factoriser. On a $n^2+n=n(n+1)$.

Séparer deux cas. Si $n$ est pair, le produit $n(n+1)$ est pair, car l'un de ses facteurs l'est. Si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair, et le produit est pair pour la même raison.

Conclure. Dans les deux cas, $n(n+1)$ est pair : la propriété est démontrée pour tout entier $n$. Les exemples de départ n'étaient que des cas particuliers de ce raisonnement.

Premier défaut : la définition circulaire. Dire qu'une preuve est « quelque chose qui prouve » ne définit rien. Il faut dire à quoi sert une preuve : établir la vérité, par un fait ou par un raisonnement ².

Second défaut : la généralisation abusive. À partir d'un seul cas (Paul), l'élève énonce une règle valant pour tous (« tricher permet de réussir »). Il oublie qu'un cas particulier ne vaut pas pour tous, et que la réussite de Paul a peut-être d'autres causes.

Définition corrigée. « Une preuve est un fait ou un raisonnement qui permet d'établir qu'une affirmation est vraie ; sa nature dépend du domaine : démonstration en mathématiques, pièces et témoignages en droit ². »

Réécriture. « Le cas de Paul, qui a triché et obtenu une bonne note, illustre l'idée que la triche peut sembler efficace. Il ne démontre pas qu'elle l'est toujours : il faudrait examiner d'autres cas et se demander si la note s'explique autrement. » L'exemple est alors réduit à son rôle d'illustration, et la conclusion est nuancée.

Cas (a), mathématiques. La preuve est un raisonnement : on vérifie que $3^2+4^2=9+16=25=5^2$, puis on applique la propriété qui permet de conclure à un angle droit. La certitude est totale, sous réserve des propriétés admises. Ici, « preuve » rejoint « démonstration » ².

Cas (b), droit. En droit, la preuve sert à établir la vérité lors d'un procès et prend des formes diverses ² : témoignages, traces matérielles, documents. Chacun a un niveau de confiance variable, et c'est leur convergence qui peut former un faisceau de présomptions ².

Cas (c), vie courante. La plupart des preuves de la vie courante sont communément admises comme dignes de confiance ² : un bruit de porte, une lumière allumée tard. On ne demande pas d'enquête, car l'enjeu est faible.

Comparer. L'exigence monte avec l'enjeu et avec la nature du domaine : exigence de démonstration en mathématiques, d'un niveau de confiance suffisant en droit, de simple vraisemblance dans la vie courante.

Conclure. On ne peut donc pas exiger partout le même type de preuve : demander une démonstration pour (c) serait absurde, se contenter d'un indice pour (a) serait insuffisant.

Idée (1). Elle est fausse en général. Pour une preuve non certaine, ajouter des conditions peut augmenter ou diminuer le niveau de confiance, jusqu'à la certitude ou au rejet : une pièce nouvelle peut aussi bien renforcer que ruiner l'estimation de culpabilité ².

Illustrer. Une empreinte retrouvée sur les lieux accuse un suspect ; la découverte qu'il avait confié l'objet à un tiers affaiblit cet indice. Chaque nouvelle pièce modifie l'évaluation, dans un sens ou dans l'autre.

Idée (2). Elle est fausse aussi. Pour une preuve certaine, l'ajout de conditions ne change pas son caractère certain ; si cela arrive, c'est que la preuve n'était pas aussi sûre qu'on le croyait ².

Tirer la leçon. Une preuve douteuse qui s'effondre n'était pas une preuve certaine : elle en avait seulement l'apparence. Reconnaître cette différence évite de confondre conviction et certitude.

Conclure. Distinguer preuve certaine et preuve probable permet de comprendre pourquoi un jugement doit rester ouvert à de nouveaux éléments, alors qu'une démonstration mathématique, elle, n'a pas à être révisée.

Poser le problème. Une preuve est un raisonnement propre à établir la vérité ². La question est de savoir si le fait qu'un logiciel contrôle ce raisonnement en modifie la nature.

Première thèse : non. Le logiciel ne crée pas la vérité ; il contrôle que chaque étape du raisonnement respecte les règles. La preuve reste un enchaînement de raisonnements, simplement écrit dans un langage très rigoureux.

Seconde thèse : en partie oui. La vérification devient indépendante de la confiance accordée à une personne : tout lecteur peut la refaire. Une bibliothèque construite collectivement donne aussi aux projets de validation une assise commune ³.

Exemple précis. Le projet mené par le mathématicien Kevin Buzzard vise à réécrire en Lean les théorèmes et preuves du programme de premier cycle de mathématiques de l'Imperial College London ³. On voit ici que la preuve n'est plus seulement un texte à lire, mais un objet qu'on peut contrôler.

Conclure avec nuance. L'outil ne remplace pas la compréhension : il garantit la correction de l'enchaînement, pas son intérêt ni son sens. Entre explication et vérification, la preuve garde ses deux visages.