Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b, avec a et b deux nombres fixés 2.
Si b=0, c'est une fonction linéaire ; si a=0, c'est une fonction constante 3.
Sa représentation graphique est une droite ; a est le coefficient directeur, b l'ordonnée à l'origine 23.
Avec deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) : a=xB−xAyB−yA, puis on trouve b en remplaçant x et y par les coordonnées d'un point.
Image : on calcule f(x). Antécédent : on résout l'équation ax+b=y.
Pourquoi étudier les fonctions affines ?
Tu connais déjà les fonctions linéaires, celles qui traduisent une situation de proportionnalité. Mais dans la vie courante, beaucoup de situations ne sont pas tout à fait proportionnelles. Prends une facture de téléphone : si chaque minute de communication coûte 0,10 €, la facture est une fonction affine du nombre de minutes 3. Le montant augmente régulièrement, et il peut s'y ajouter une somme de départ.
Dans ce cours, tu vas apprendre à reconnaître une fonction affine, à calculer des images et des antécédents, à comprendre ce que représentent les deux nombres qui la définissent, puis à retrouver sa formule à partir de deux informations. Ces compétences reviennent chaque année au DNB, que ce soit dans un exercice de fonctions ou dans un problème de modélisation.
Définition et vocabulaire
Cas particuliers : fonctions linéaires et constantes
Cette remarque est précieuse : tout ce que tu vas apprendre sur les fonctions affines s'applique aussi aux fonctions linéaires que tu connais. La famille des fonctions affines est plus large : elle contient les fonctions linéaires.
Par exemple, f(x)=5x est linéaire, donc affine, avec a=5 et b=0. La fonction g(x)=5x+2 est affine mais n'est pas linéaire, car b=2 n'est pas nul.
Calculer une image et un antécédent
La représentation graphique : une droite
Parce que la représentation est une droite, deux points suffisent pour la tracer. Tu choisis deux valeurs de x, tu calcules leurs images, tu places les deux points obtenus et tu traces la droite qui passe par eux.
Pour f(x)=2x+1, on obtient par exemple le tableau suivant.
Valeurs de f(x) = 2x + 1
x
-1
0
1
2
f(x) = 2x + 1
-1
1
3
5
Valeurs de f(x) = 2x + 1 · Chaque fois que x augmente de 1, f(x) augmente de 2.
Les points (−1;−1), (0;1), (1;3) et (2;5) sont alignés. Voici la droite correspondante.
Représentation de f(x) = 2x + 1 · Le point A(0 ; 1) donne l'ordonnée à l'origine b = 1.
Le coefficient directeur : ce que dit $a$
Le nombre a indique de combien varie f(x) quand x augmente de 1. Dans f(x)=2x+1, chaque fois que x augmente de 1, l'image augmente de 2 : de f(0)=1 on passe à f(1)=3, puis à f(2)=5.
Si a>0, la fonction croît : la droite « monte » de gauche à droite.
Si a<0, la fonction décroît : la droite « descend ».
Comme x2=x1, on peut diviser les deux côtés par x2−x1 et on obtient a=x2−x1f(x2)−f(x1). Le nombre b a disparu du calcul : il s'annule dans la soustraction.
Retrouver la formule d'une fonction affine
C'est une compétence classique : on te donne deux informations sur une fonction affine (deux images, deux points d'une droite) et tu dois retrouver sa formule. Les ressources d'accompagnement du programme travaillent cette compétence à partir d'une droite tracée dans un repère 2.
Écrire la formeOn pose f(x) = ax + b.
Calculer aa = (yB − yA) ÷ (xB − xA).
Calculer bOn remplace x et y par les coordonnées de A.
Conclure et contrôlerOn écrit f(x) puis on teste avec B.
Trouver f(x) = ax + b avec deux points
Modéliser une situation
Beaucoup de problèmes se règlent en trouvant la bonne fonction affine. Le signal à repérer est la présence de deux ingrédients : une quantité fixe, qui devient b, et une quantité qui s'ajoute de façon régulière à chaque unité, qui devient a. C'est ce que décrit une facture téléphonique, où le coût dépend du nombre de minutes 3.
Les pièges du DNB et comment les éviter
Au DNB, les fonctions affines apparaissent sous trois formes : un calcul d'image ou d'antécédent, une lecture ou un tracé de droite, ou un problème de tarif à modéliser. Voici une méthode de contrôle rapide pour chacun.
Exercices corrigés
Exercice 1 Image et antécédent
★☆☆Environ 5 min
Soit la fonction affine f définie par f(x)=3x−5.
Calcule l'image de 4.
Détermine l'antécédent de 10.
Indice 1
Pour l'image, remplace x par 4.
Indice 2
Pour l'antécédent, résous l'équation 3x−5=10.
Voir la correction pas à pas
Image de 4 : f(4)=3×4−5=12−5=7.
Antécédent de 10 : on résout 3x−5=10.
On ajoute 5 aux deux membres : 3x=15.
On divise par 3 : x=5.
Vérification : f(5)=3×5−5=10.
L'image de 4 est 7 et l'antécédent de 10 est 5.
Exercice 2 Retrouver une fonction affine avec deux points
★★☆Environ 8 min
Une droite passe par A(1;4) et B(3;10). Elle représente une fonction affine f.
Calcule le coefficient directeur a.
Calcule l'ordonnée à l'origine b et écris f(x).
Calcule f(10).
Indice 1
Utilise a=xB−xAyB−yA.
Indice 2
Remplace x et y par les coordonnées de A dans ax+b=y pour trouver b.
Voir la correction pas à pas
Coefficient directeur : a=3−110−4=26=3.
Comme A est sur la droite, f(1)=4, soit 3×1+b=4.
On en déduit b=1, donc f(x)=3x+1.
Contrôle avec B : f(3)=3×3+1=10.
Image de 10 : f(10)=3×10+1=31.
La fonction est f(x)=3x+1 et f(10)=31.
Exercice 3 Location de vélos
★★☆Environ 8 min
Un loueur de vélos demande 8 € de frais de dossier, puis 2,50 € par heure de location. On note P(x) le prix payé pour x heures.
Exprime P(x) en fonction de x.
Quel est le prix pour 6 heures ?
Avec 33 €, combien d'heures peut-on louer ?
Indice 1
Les frais de dossier sont payés quelle que soit la durée : c'est la valeur de b.
Indice 2
Pour la question 3, cherche l'antécédent de 33.
Voir la correction pas à pas
Les 8 € de frais sont fixes : b=8. Chaque heure coûte 2,50 € : a=2,5. Donc P(x)=2,5x+8.
Pour 6 heures : P(6)=2,5×6+8=15+8=23 €.
Pour 33 €, on résout 2,5x+8=33.
On soustrait 8 : 2,5x=25.
On divise par 2,5 : x=10.
Avec 33 €, on peut louer le vélo pendant 10 heures.
Exercice 4 Zéro d'une fonction affine défini par deux images
★★★Environ 10 min
Une fonction affine g vérifie g(2)=7 et g(6)=−1.
Détermine l'expression de g(x).
Détermine l'antécédent de 0.
La fonction g est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.
Indice 1
Commence par a=6−2g(6)−g(2).
Indice 2
L'antécédent de 0 s'obtient en résolvant ax+b=0.
Voir la correction pas à pas
Coefficient directeur : a=6−2−1−7=4−8=−2.
On utilise g(2)=7 : −2×2+b=7, donc −4+b=7 et b=11.
Antécédent de 0 : −2x+11=0, donc −2x=−11 et x=5,5.
Comme a=−2<0, la fonction g est décroissante.
g(x)=−2x+11 ; l'antécédent de 0 est 5,5 ; g est décroissante car son coefficient directeur est négatif.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
f(x)=4x−7 est de la forme ax+b avec a=4 et b=−7. Les autres ne le sont pas : x est au carré dans x2+1, au dénominateur dans x3, sous une racine dans x. La tentation est de croire que « il y a un x et un nombre » suffit, mais la variable doit seulement être multipliée par un nombre.
Vrai : une fonction linéaire f(x)=ax est le cas particulier de ax+b où b=03. La confusion vient de la réciproque, qui est fausse : une fonction affine n'est pas toujours linéaire.
On calcule f(4)=−2×4+9=−8+9=1. Une erreur fréquente consiste à écrire −8−9=−17 en oubliant que le signe de 9 est positif.
Comme A(0;3) est sur l'axe des ordonnées, b=3. Ensuite a=2−07−3=2. La réponse 4x+3 vient d'un oubli de diviser par 2−0 ; 3x+2 vient d'une inversion de a et b.
Ici a=5 et b=−22. La représentation est une droite 3. Elle ne passe pas par l'origine, car f(0)=−2 et non 0 : c'est l'erreur tentante, valable seulement pour les fonctions linéaires.
Faux : une fonction linéaire a une ordonnée à l'origine nulle 3. Si b=0, la fonction est affine mais pas linéaire, et f(0)=b n'est pas égal à 0.
On résout 4x−1=11, donc 4x=12 et x=3. L'erreur fréquente est de calculer f(11)=43, c'est-à-dire l'image de 11, alors que la question demande l'antécédent.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ?
Une fonction linéaire s'écrit f(x)=ax ; une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b. La fonction linéaire est le cas particulier où b=03. Sa droite passe par l'origine du repère, alors que celle d'une fonction affine coupe l'axe des ordonnées au point (0;b).
Comment savoir si une fonction est affine ?
Regarde comment x apparaît : il doit être seulement multiplié par un nombre, puis on ajoute un nombre 3. Si tu vois x2, x1 ou x, la fonction n'est pas affine. Après développement et réduction, 3(x+2)−x devient 2x+6 : c'est une fonction affine.
Pourquoi deux points suffisent-ils pour tracer la représentation d'une fonction affine ?
Parce que sa représentation graphique est une droite 3, et qu'une seule droite passe par deux points distincts. Prends un troisième point pour contrôler ton calcul : s'il n'est pas aligné avec les deux premiers, il y a une erreur.
À quoi servent les fonctions affines dans la vie courante ?
Elles modélisent les situations où une quantité fixe s'ajoute à une quantité qui augmente régulièrement. Une facture téléphonique en fonction du nombre de minutes en est un exemple 3. Un tarif de location, un abonnement avec prix à l'unité ou un taxi suivent le même principe.
Comment trouver l'ordonnée à l'origine quand on connaît $a$ et un point ?
Remplace x et f(x) par les coordonnées du point dans l'égalité ax+b=f(x), puis résous l'équation d'inconnue b. Par exemple, avec a=3 et le point (1;4) : 3×1+b=4, donc b=1.
Qu'est-ce qui tombe au DNB sur ce chapitre ?
On trouve surtout des calculs d'image et d'antécédent, la lecture d'une droite pour retrouver la formule de la fonction 2, et des problèmes de tarifs à modéliser. Entraîne-toi à donner l'unité et à contrôler ta réponse en remplaçant dans la formule.