Repérage sur la sphère : exercices corrigés de 3e

Pour $A$ : la latitude est $45^\circ$ N, donc $A$ est dans l'hémisphère nord ; la longitude est $10^\circ$ E, donc $A$ est à l'est du méridien de référence.

Pour $B$ : la latitude est $30^\circ$ S, donc $B$ est dans l'hémisphère sud ; la longitude est $60^\circ$ O, donc $B$ est à l'ouest.

Pour $C$ : la latitude est $20^\circ$ N, donc $C$ est dans l'hémisphère nord ; la longitude est $100^\circ$ O, donc $C$ est à l'ouest.

Pour $D$ : la latitude vaut $0^\circ$, donc $D$ est sur l'équateur ; la longitude est $30^\circ$ E, donc $D$ est à l'est.

Rappelle le critère : un cercle tracé sur la sphère est un grand cercle si le plan qui le contient passe par le centre $O$ de la sphère. Son rayon est alors égal à celui de la sphère.

L'équateur : son plan passe par $O$. C'est un grand cercle.

Le parallèle à $45^\circ$ N : son plan est parallèle à celui de l'équateur mais ne passe pas par $O$. Son centre est sur l'axe des pôles, au-dessus de $O$. Ce n'est pas un grand cercle.

Les méridiens $20^\circ$ E et $160^\circ$ O : ils sont opposés, donc ils forment un cercle dont le plan contient l'axe des pôles, donc $O$. C'est un grand cercle.

Le cercle incliné par un plan passant par $O$ : c'est par définition un grand cercle, même s'il n'est ni l'équateur ni un méridien.

L'équateur est un grand cercle, donc son rayon est celui de la sphère : $r = 6\,400$ km.

Applique la formule de la longueur d'un cercle : $L = 2\pi r = 2\pi \times 6\,400 = 12\,800\pi$.

Calcule avec la calculatrice : $L \approx 40\,212{,}39$ km.

Les deux points sont du même côté de l'équateur, sur le même méridien : l'angle au centre est la différence des latitudes, $40 - 10 = 30^\circ$.

Le méridien appartient à un grand cercle de rayon $6\,400$ km, de longueur $2\pi \times 6\,400$.

L'arc correspond à $\dfrac{30}{360} = \dfrac{1}{12}$ du grand cercle : $\ell = \dfrac{30}{360} \times 2\pi \times 6\,400 = \dfrac{6\,400\pi}{6}$.

Calcule : $\ell \approx 3\,351{,}03$ km.

Place l'équateur : la latitude de $P$ est l'angle entre $OP$ et le plan de l'équateur, soit $60^\circ$. L'angle entre $OP$ et l'axe des pôles est donc $90 - 60 = 30^\circ$.

Dans le triangle $OHP$ rectangle en $H$, l'hypoténuse est $OP = R = 6\,400$ km et l'angle $\widehat{HOP}$ vaut $30^\circ$.

Le côté $HP$ est opposé à cet angle : $HP = OP \times \sin 30^\circ = 6\,400 \times \dfrac{1}{2}$.

Cela revient à $R\cos 60^\circ$ : $HP = 3\,200$ km.

Le parallèle est un cercle de rayon $3\,200$ km.

Applique la formule : $L = 2\pi \times 3\,200 = 6\,400\pi$.

Calcule : $L \approx 20\,106{,}19$ km.

Compare : cette longueur est la moitié de celle de l'équateur, puisque le rayon est lui-même divisé par deux.

Le parallèle est un cercle de rayon $r = 3\,200$ km, centré sur l'axe des pôles.

Une différence de longitude de $90^\circ$ correspond à un angle de $90^\circ$ au centre de ce cercle, soit $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$ du tour.

Calcule la longueur de l'arc : $\ell = \dfrac{90}{360} \times 2\pi \times 3\,200 = 1\,600\pi$.

Donne la valeur : $\ell \approx 5\,026{,}55$ km.

Les points $E$ et $F$ sont sur le parallèle de centre $H$ et de rayon $3\,200$ km, donc $HE = HF = 3\,200$ km.

L'angle $\widehat{EHF}$ vaut $90^\circ$, car il correspond à la différence de longitude. Le triangle $HEF$ est rectangle isocèle en $H$.

Applique le théorème de Pythagore : $EF^2 = 3\,200^2 + 3\,200^2 = 2 \times 3\,200^2$.

Donc $EF = 3\,200\sqrt{2} \approx 4\,525{,}48$ km.

Compare : $4\,525{,}48 < 5\,026{,}55$. La ligne droite est plus courte que l'arc de parallèle, comme toujours entre deux points d'un même cercle.