La réciproque du théorème de Thalès : cours de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La réciproque d'une propriété « si P alors Q » est « si Q alors P » : elle n'est pas vraie automatiquement.
Le théorème de Thalès utilise un parallélisme pour obtenir des rapports égaux ; sa réciproque fait le chemin inverse : des rapports égaux donnent un parallélisme.
Pour appliquer la réciproque : points alignés dans le même ordre, puis calcul des deux rapports séparément, puis comparaison.
Si les deux rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles (contraposée du théorème de Thalès).
Les deux configurations du programme : triangles emboîtés et papillon.

Pourquoi une réciproque ?

En géométrie, tu rencontres deux situations très différentes. Dans la première, on te dit que deux droites sont parallèles et tu dois en tirer des longueurs. Dans la seconde, on te donne des longueurs et tu dois décider si deux droites sont parallèles. Le théorème de Thalès sert à la première situation. Pour la seconde, il faut un autre outil : sa réciproque.

Le programme de 3e demande de connaître et d'appliquer le théorème de Thalès, sa réciproque et sa contraposée, dans les configurations des triangles emboîtés et du papillon ¹. Il demande aussi un vrai travail de logique sur ces notions : savoir ce que veut dire « réciproque » fait partie du chapitre, pas seulement les calculs ¹.

Dans ce cours, tu vas :

comprendre ce que signifie le mot « réciproque » en logique ;
savoir énoncer la réciproque de Thalès sans te tromper d'ordre ;
suivre une méthode de rédaction sûre ;
utiliser la contraposée pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles ;
reconnaître les deux configurations travaillées en 3e.

Comprendre ce qu'est une réciproque

Rappel : le théorème de Thalès

Prenons un triangle $ABC$ . Soit $M$ un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC)$ . Quand $(MN)$ est parallèle à $(BC)$ , le théorème de Thalès te dit que les rapports de longueurs suivants sont égaux :

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

Tu pars d'un parallélisme connu et tu obtiens une égalité de rapports.

Énoncer la réciproque de Thalès

Observe la structure : l'hypothèse de la réciproque est la conclusion de Thalès (l'égalité des rapports), et sa conclusion est l'hypothèse de Thalès (le parallélisme). C'est exactement l'échange défini plus haut. Cette réciproque est un théorème à part entière : tu n'as pas à la redémontrer, mais tu dois la citer correctement.

RepérerTriangle et droites à prouver parallèles
AlignerPoints alignés dans le même ordre
CalculerChaque rapport séparément
ComparerRapports égaux ou différents ?
ConclureCiter la réciproque de Thalès

Prouver un parallélisme avec la réciproque de Thalès · Les cinq étapes d'une rédaction complète.

Méthode de rédaction pas à pas

La configuration papillon

Le programme cite deux configurations : les triangles emboîtés, que tu viens de voir, et la configuration en papillon ¹. Les attendus de fin d'année précisent que le théorème de Thalès et sa réciproque doivent être maîtrisés dans cette configuration papillon ².

Erreurs fréquentes et réflexes de rédaction

S'entraîner pour le DNB

Au DNB, une question de géométrie demande souvent d'enchaîner deux étapes : calculer une longueur avec le théorème de Thalès, puis justifier un parallélisme avec sa réciproque, ou l'inverse. Chaque étape attend un théorème cité avec soin et une vérification des conditions.

Quelques réflexes :

relis l'énoncé pour repérer le verbe : « calculer » ou « démontrer » ;
fais un petit schéma, même rapide, en plaçant bien le point commun aux deux droites ;
note les longueurs connues sur la figure ;
prends le temps d'écrire la phrase de conclusion complète.

Exercices corrigés

Exercice 1 Les droites sont-elles parallèles ?

★☆☆Environ 8 min

Dans le triangle $ABC$ , le point $M$ est sur $[AB]$ et le point $N$ sur $[AC]$ . On donne $AM = 3$ cm, $AB = 7{,}5$ cm, $AN = 4$ cm et $AC = 10$ cm.

Calcule le rapport $\dfrac{AM}{AB}$ , puis démontre que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. (Calcule d'abord le rapport $\dfrac{AM}{AB}$ pour la réponse numérique.)

Indice 1

Calcule les deux rapports séparément avant de les comparer.

Indice 2

N'oublie pas de vérifier l'ordre des points alignés.

Voir la correction pas à pas

Les points $A$ , $M$ , $B$ d'une part et $A$ , $N$ , $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre, car $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ .
On calcule $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{3}{7{,}5}=0{,}4$ .
On calcule $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$ .
Les deux rapports sont égaux.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, car les deux rapports valent $0{,}4$ .

Exercice 2 Des droites qui ne sont pas parallèles

★★☆Environ 10 min

Dans le triangle $ABC$ , $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$ . On donne $AM = 2$ cm, $AB = 6$ cm, $AN = 3$ cm et $AC = 10$ cm.

Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifie.

Indice 1

Écris les deux rapports sous forme de fractions.

Indice 2

Compare-les avec un produit en croix ou un dénominateur commun.

Voir la correction pas à pas

On calcule $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ .
On calcule $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3}{10}$ .
Produit en croix : $1\times10=10$ et $3\times3=9$ . Les produits sont différents, donc $\dfrac{AM}{AB}\neq\dfrac{AN}{AC}$ .
Si $(MN)$ était parallèle à $(BC)$ , le théorème de Thalès donnerait des rapports égaux : c'est contradictoire.
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont donc pas parallèles.

Les rapports diffèrent ( $\frac{1}{3}$ et $\frac{3}{10}$ ), donc $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Exercice 3 Papillon à compléter

★★★Environ 12 min

Deux droites se coupent en $O$ . Les points $A$ et $D$ sont sur la première, de part et d'autre de $O$ ; les points $B$ et $C$ sont sur la seconde, de part et d'autre de $O$ . On donne $OA = 4$ cm, $OD = 10$ cm, $OB = 6$ cm.

Quelle doit être la longueur $OC$ , en centimètres, pour que $(AB)$ et $(DC)$ soient parallèles ?

Indice 1

Écris l'égalité $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}$ avec l'inconnue $OC$ .

Indice 2

Utilise un produit en croix pour isoler $OC$ .

Voir la correction pas à pas

Pour que $(AB)$ et $(DC)$ soient parallèles, on veut $\dfrac{OA}{OD}=\dfrac{OB}{OC}$ , avec $O$ entre $A$ et $D$ et entre $B$ et $C$ .
On remplace : $\dfrac{4}{10}=\dfrac{6}{OC}$ .
Produit en croix : $4\times OC=10\times6=60$ .
On divise : $OC=\dfrac{60}{4}=15$ .
Vérification : $\dfrac{4}{10}=0{,}4$ et $\dfrac{6}{15}=0{,}4$ . Les rapports sont égaux, donc la réciproque s'applique.

Il faut $OC = 15$ cm pour que $(AB)$ et $(DC)$ soient parallèles.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre le théorème de Thalès et sa réciproque ?

Le théorème de Thalès part de droites parallèles et conclut à une égalité de rapports. Sa réciproque part d'une égalité de rapports (avec points alignés dans le même ordre) et conclut au parallélisme. Le programme demande de connaître et d'appliquer les deux ¹.

Comment savoir si je dois utiliser Thalès ou sa réciproque ?

Regarde ce que l'énoncé te donne et ce qu'il te demande. Si on te donne un parallélisme et que tu cherches une longueur : Thalès. Si on te donne des longueurs et que tu dois prouver (ou réfuter) un parallélisme : réciproque, ou contraposée quand les rapports sont différents.

Que faire quand les deux rapports sont différents ?

Tu conclus que les droites ne sont pas parallèles. Ce raisonnement s'appuie sur la contraposée du théorème de Thalès : si elles étaient parallèles, les rapports seraient égaux. La contraposée fait partie des notions travaillées en 3e ¹.

Le papillon et les triangles emboîtés se traitent-ils pareil ?

La méthode est la même : alignement dans le bon ordre, deux rapports calculés séparément, comparaison, conclusion. Seule la figure change : dans le papillon, le point commun est entre les points de chaque droite. Le programme et les attendus de fin d'année citent les deux configurations ¹².

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 (3e) - Théorème de Thalès et sa réciproque · Ministère de l'Éducation nationale

Programme de mathématiques pour le cycle 4 (3e) - Théorème de Thalès et sa réciproque, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
3e Mathématiques - ATTENDUS de fin d'année, Éduscol - Ministère de l'Éducation. Consulté le 6 novembre 2026.
Bijection réciproque, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Altruisme réciproque, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

La réciproque du théorème de Thalès : cours de 3e

L'essentiel

Pourquoi une réciproque ?

Comprendre ce qu'est une réciproque

Rappel : le théorème de Thalès

Énoncer la réciproque de Thalès

Méthode de rédaction pas à pas

La configuration papillon

Erreurs fréquentes et réflexes de rédaction

S'entraîner pour le DNB

Exercices corrigés

Exercice 1 Les droites sont-elles parallèles ?

Exercice 2 Des droites qui ne sont pas parallèles

Exercice 3 Papillon à compléter

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur