La réciproque de Thalès : exercices corrigés de 3e

Configuration : triangles emboîtés de sommet $A$, avec $M$ sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$. Les points sont donc alignés dans le même ordre que $A$, $B$ et $A$, $C$.

Premier rapport : $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{7{,}5}=\frac{30}{75}=\frac{2}{5}$.

Second rapport : $\frac{AN}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

Comparaison : les deux rapports sont égaux.

Conclusion : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Premier rapport : $\frac{AM}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Second rapport : $\frac{AN}{AC}=\frac{3}{8}$.

Comparaison par produit en croix : $1\times 8=8$ et $3\times 3=9$. Les produits sont différents, donc les rapports aussi.

Conclusion : si $(MN)$ et $(BC)$ étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait des rapports égaux. Ce n'est pas le cas, donc d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites ne sont pas parallèles.

Configuration : papillon de centre $O$. Les points $A$, $O$, $B$ sont alignés dans cet ordre, de même que $A'$, $O$, $B'$.

Premier rapport : $\frac{OA}{OB}=\frac{3}{4{,}5}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$.

Second rapport : $\frac{OA'}{OB'}=\frac{2}{3}$.

Comparaison : les deux rapports sont égaux.

Conclusion : d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AA')$ et $(BB')$ sont parallèles.

Premier rapport : $\frac{AM}{AB}=\frac{3{,}6}{9}=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}$.

Second rapport : $\frac{AN}{AC}=\frac{2{,}4}{6}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}$.

Les rapports sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel(BC)$.

Maintenant que le parallélisme est établi, le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$, soit $\frac{2}{5}=\frac{MN}{7{,}5}$.

Calcul : $MN=\frac{2}{5}\times 7{,}5=3$ cm.

Premier rapport : $\frac{OA}{OB}=\frac{5}{8}$.

Second rapport pour $OB'=4{,}5$ : $\frac{OA'}{OB'}=\frac{3}{4{,}5}=\frac{2}{3}$.

Produit en croix : $5\times 3=15$ et $8\times 2=16$. Les produits diffèrent, donc les rapports aussi. D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites ne sont pas parallèles.

Pour le parallélisme, il faut $\frac{3}{OB'}=\frac{5}{8}$.

Produit en croix : $OB'=\frac{3\times 8}{5}=4{,}8$ cm.

Les calculs de Léa sont justes : les deux rapports valent bien $\frac{2}{5}$.

Sur la droite $(AB)$, l'ordre est $A$, $M$, $B$ : $M$ et $B$ sont du même côté de $A$.

Sur la droite $(AC)$, l'ordre est $N$, $A$, $C$ : $N$ et $C$ sont de part et d'autre de $A$.

Les points ne sont donc pas placés de la même façon sur les deux droites : on n'est ni dans les triangles emboîtés, ni dans un papillon. La réciproque ne s'applique pas.

Conclusion : le raisonnement de Léa n'est pas correct. En plaçant le schéma à l'échelle, on constate même que $(MN)$ n'est pas parallèle à $(BC)$.

Comme $M$ est sur $[AB]$, $AB = AM + MB = x+4$. Comme $N$ est sur $[AC]$, $AC = AN + NC = 3+5 = 8$.

Pour avoir $(MN)\parallel(BC)$, il faut l'égalité $\frac{x}{x+4}=\frac{3}{8}$, puisque la réciproque garantit alors le parallélisme.

Produit en croix : $8x = 3(x+4)$, soit $8x = 3x+12$.

On obtient $5x = 12$, donc $x=\frac{12}{5}=2{,}4$.

Vérification : $\frac{2{,}4}{6{,}4}=\frac{3}{8}$. Les droites sont parallèles pour $x = 2{,}4$ cm.