Mathématiques · 3eDNB
La réciproque du théorème de Thalès : fiche de 3e
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une réciproque échange l'hypothèse et la conclusion d'un énoncé ; elle n'est pas toujours vraie, il faut la démontrer.
- Le programme de 3e demande de connaître et d'appliquer Thalès, sa réciproque et sa contraposée.1
- On utilise la réciproque pour prouver que deux droites sont parallèles : on compare deux rapports de longueurs.
- Rapports égaux et points alignés dans le même ordre : les droites sont parallèles. Rapports différents : elles ne le sont pas.
- Ne jamais calculer un rapport pour « vérifier » un parallélisme déjà donné : on utilise alors Thalès direct.
Ce que le programme attend
En 3e, le chapitre sur Thalès ne s'arrête pas au calcul de longueurs. Le programme demande de connaître et d'appliquer le théorème de Thalès, sa réciproque et sa contraposée, dans les configurations des triangles emboîtés et du papillon.12 Il demande aussi un vrai travail de logique sur la réciproque et la contraposée.1
Comprendre ce qu'est une réciproque
Quand utiliser la réciproque
Exemple complet
Les pièges à éviter
Questions flash
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Prouver un parallélisme à partir de rapports de longueurs relève de la réciproque. Thalès direct suppose le parallélisme connu et sert à calculer une longueur ; mesurer sur la figure ne prouve rien.
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Une réciproque échange hypothèse et conclusion. Ne la confonds pas avec la contraposée, « si non B, alors non A », qui est une autre transformation.
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Faux : « s'il pleut, la route est mouillée » est vrai, mais sa réciproque ne l'est pas. Il faut démontrer chaque réciproque.
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On calcule . L'erreur tentante est d'inverser la fraction et d'obtenir environ : les deux rapports comparés doivent être construits dans le même sens.
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Si les droites étaient parallèles, Thalès imposerait l'égalité des rapports ; c'est la contraposée. Des rapports différents prouvent donc le non-parallélisme, sans rien dire de la perpendicularité.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser Thalès ou sa réciproque ?
Regarde ce que l'énoncé donne. Si le parallélisme est affirmé, utilise Thalès pour trouver une longueur. S'il est à démontrer, utilise la réciproque en comparant deux rapports.
Est-ce que la contraposée change quelque chose à la rédaction ?
Oui, elle sert quand les rapports sont différents. Le programme demande de connaître la contraposée en plus de la réciproque.1 On conclut alors que les droites ne sont pas parallèles.
Faut-il écrire les fractions ou les décimaux ?
Les deux sont acceptés. Choisis ce qui évite les erreurs d'arrondi : une valeur approchée peut faire croire à tort à une égalité ou à une différence. En cas de doute, compare par produit en croix.
Sources
Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 (3e) - Théorème de Thalès et sa réciproque · Ministère de l'Éducation nationale
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 (3e) - Théorème de Thalès et sa réciproque, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- 3e Mathématiques - ATTENDUS de fin d'année, Éduscol - Ministère de l'Éducation. Consulté le 6 novembre 2026.
- Bijection réciproque, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Altruisme réciproque, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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