Effet d'une transformation sur longueurs et aires : cours de 3e
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Symétrie axiale, translation et rotation déplacent ou retournent une figure sans la déformer : longueurs et aires restent les mêmes.
Une homothétie de rapport k multiplie toutes les longueurs par ∣k∣ : agrandissement si ∣k∣>1, réduction si ∣k∣<1.
Une homothétie de rapport k multiplie les aires par k2 (et les volumes par ∣k∣3) : l'aire ne se multiplie pas par k.
Pour trouver un rapport à partir de deux aires, on prend la racine carrée du quotient des aires.
Les angles ne changent pas : seules les longueurs, aires et volumes sont modifiés par l'homothétie.
Pourquoi se demander ce que devient une figure
Quand on transforme une figure, on peut se poser deux questions : où va-t-elle, et que deviennent ses mesures ? Tu as déjà rencontré les rotations et les homothéties ; ce cours rassemble ce qu'elles, et les autres transformations, font aux longueurs et aux aires.
Le programme de 3e demande de calculer des longueurs, des aires et des volumes à l'aide des formules usuelles 1 et de comprendre l'effet de quelques transformations sur les figures géométriques 1. C'est exactement l'objet de ce chapitre, et c'est un thème classique du DNB : on te donne une figure, une transformation, et on te demande l'aire ou une longueur de l'image.
Un résultat guide toute la leçon : certaines transformations ne changent ni les longueurs ni les aires (elles déplacent la figure), tandis que d'autres changent la taille (l'homothétie agrandit ou réduit). Pour ces dernières, longueurs et aires ne sont pas modifiées de la même façon, et c'est là que se cachent les erreurs.
Les transformations qui conservent tout
Des documents de formation consacrés aux transformations rappellent la conservation des longueurs et des aires par la symétrie orthogonale (la symétrie axiale que tu connais) 2. Ils soulignent aussi que l'aire reste invariante quand on change la position ou l'orientation de la figure, même si son aspect d'ensemble paraît différent 2. Cela couvre les deux gestes qui consistent à faire glisser la figure (translation) et à la faire tourner (rotation).
On peut le comprendre avec une feuille de papier calque. Tu décalques un triangle, puis tu fais glisser le calque, tu le fais pivoter autour d'un point, ou tu le retournes autour d'une droite. À aucun moment le calque ne s'étire : le triangle décalqué se superpose exactement à l'original. Ses côtés, ses angles, la quantité de surface qu'il recouvre sont donc les mêmes.
Pour un calcul, cela veut dire qu'on peut ne pas chercher à reconstruire l'image : il suffit de reprendre les mesures de la figure de départ.
L'homothétie et les longueurs
L'homothétie et les aires : le carré du rapport
C'est le point qui piège le plus d'élèves. Si les longueurs sont multipliées par k, on est tenté de multiplier aussi l'aire par k. C'est faux, parce qu'une aire fait intervenir deux longueurs : une largeur et une hauteur.
Démonstration · Pourquoi $k^2$ (cas du rectangle)
Un rectangle de longueur L et de largeur ℓ a pour aire L×ℓ.
Après une homothétie de rapport k, ses dimensions deviennent ∣k∣L et ∣k∣ℓ. Son aire est donc :
∣k∣L×∣k∣ℓ=∣k∣2×Lℓ=k2×Lℓ
L'aire est multipliée par k2. Une figure quelconque peut être découpée en petits carrés ou en triangles, tous multipliés par k2 ; on retrouve donc le même coefficient pour l'aire totale.
Effet des transformations sur les mesures
Transformation
Longueurs
Angles
Aires
Symétrie axiale
Conservées
Conservés
Conservées
Translation
Conservées
Conservés
Conservées
Rotation
Conservées
Conservés
Conservées
Homothétie de rapport k
× |k|
Conservés
× k²
Effet des transformations sur les mesures · Résumé des effets
Retrouver le rapport à partir des aires
Parfois on te donne les aires avant et après et on te demande le rapport. Comme l'aire est multipliée par k2, on retrouve k avec une racine carrée.
Aires, unités et volumes
Le programme prévoit des changements d'unités pour les longueurs et pour les aires 2, ainsi que l'usage des formules d'aires et de volumes 2. Le lien avec ce chapitre est direct : le même raisonnement que pour le rapport d'une homothétie explique les conversions d'unités d'aire.
Méthode générale et problème complet
Exercices corrigés
Exercice 1 Rotation puis agrandissement
★☆☆Environ 6 min
Un triangle ABC a une aire de 12 cm². On lui applique une symétrie axiale, puis une homothétie de rapport 2. Quelle est l'aire du triangle obtenu, en cm² ?
Indice 1
La symétrie axiale ne change pas l'aire.
Indice 2
Pour l'homothétie, l'aire est multipliée par k2.
Voir la correction pas à pas
La symétrie axiale conserve les aires : l'aire reste 12 cm².
L'homothétie de rapport 2 multiplie les aires par 22=4.
Aire finale : 12×4=48 cm².
L'aire finale est 48 cm². Les longueurs auraient seulement doublé.
Exercice 2 Réduction d'une figure
★★☆Environ 8 min
Une figure a un périmètre de 30 cm et une aire de 52 cm². On la réduit par une homothétie de rapport 0,5. Quelle est l'aire de la figure réduite, en cm² ?
Indice 1
Le périmètre est multiplié par 0,5, mais la question porte sur l'aire.
Indice 2
Calcule 0,52.
Voir la correction pas à pas
Le rapport est k=0,5, donc k2=0,25.
L'aire est multipliée par 0,25.
Aire réduite : 52×0,25=13 cm².
L'aire réduite est 13 cm² (le périmètre serait de 15 cm). Diviser l'aire par 2 donnerait 26 cm², résultat erroné.
Exercice 3 Retrouver le rapport
★★☆Environ 8 min
Un motif a une aire de 20 cm². Après agrandissement par une homothétie de rapport positif, son aire est de 180 cm². Quel est le rapport k de l'homothétie ?
Indice 1
Calcule le quotient des deux aires : il vaut k2.
Indice 2
Prends la racine carrée.
Voir la correction pas à pas
Quotient des aires : 20180=9.
Donc k2=9.
Comme k>0 : k=9=3.
Le rapport est 3. Les longueurs sont multipliées par 3, les aires par 9.
Exercice 4 Un disque agrandi
★★★Environ 10 min
Un disque a pour rayon 4 cm. On lui applique une homothétie de rapport 1,5. Calcule l'aire du disque obtenu, arrondie au dixième de cm².
Indice 1
Calcule d'abord le nouveau rayon.
Indice 2
L'aire d'un disque est πr2.
Voir la correction pas à pas
Nouveau rayon : 4×1,5=6 cm.
Aire : π×62=36π cm².
Valeur approchée : 36π≈113,1 cm².
L'aire vaut environ 113,1 cm². On aurait aussi pu calculer 16π×1,52=36π.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La symétrie axiale conserve les aires 2, donc l'aire reste 35 cm². Doubler (70) ou diviser par deux (17,5) supposerait une déformation, ce qui n'arrive pas ici.
Les aires sont multipliées par k2=9. Le choix 3 est l'erreur tentante : il correspond aux longueurs. 27 est 33, coefficient des volumes.
(51)2=251. 51 oublie le carré, 101 confond carré et double, 1251 est le coefficient des volumes.
Faux : l'aire est invariante quand on change l'orientation de la figure 2. Seule sa position change ; l'impression de « figure différente » vient de l'inclinaison.
872=9=k2, donc k=3. Répondre 9 serait confondre rapport des aires et rapport des longueurs.
Les longueurs sont multipliées par ∣k∣=2 : 7×2=14 cm. Une longueur ne peut pas être négative ; −14 est l'erreur tentante.
Vrai : l'image garde la même forme, donc les angles ne changent pas. Seules les mesures de longueur, d'aire et de volume changent, selon le rapport.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi l'aire est-elle multipliée par k² et non par k ?
Une aire se calcule avec deux dimensions (longueur et largeur, ou base et hauteur). Chacune est multipliée par ∣k∣, donc leur produit l'est par ∣k∣×∣k∣=k2. Un carré de 3 cm de côté agrandi avec k=2 se découpe en 4 petits carrés identiques, pas en 2.
Une rotation ou une symétrie change-t-elle les longueurs ?
Non. La symétrie axiale conserve les longueurs et les aires 2, et l'aire ne dépend ni de la position ni de l'orientation de la figure 2. Ces transformations déplacent ou retournent la figure sans l'étirer.
Comment savoir si c'est un agrandissement ou une réduction ?
Regarde la valeur absolue du rapport : ∣k∣>1 donne un agrandissement, ∣k∣<1 une réduction. Le signe de k ne joue que sur la position de l'image par rapport au centre.
Que faire si l'énoncé donne les aires en m² et demande des cm² ?
Convertis en mettant le facteur de conversion au carré : 1 m2=100×100=10000 cm2. Le programme prévoit ces changements d'unités pour les longueurs et les aires 2. Ne te contente pas de multiplier par 100.
Ce chapitre tombe-t-il au DNB ?
Le programme de 3e demande d'étudier l'effet de transformations sur les figures et de calculer longueurs, aires et volumes 1. Les sujets mêlent souvent agrandissement ou réduction et calcul d'aire : retiens bien le coefficient k2.