Transformations, longueurs et aires : exercices de 3e

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une symétrie axiale, une translation ou une rotation déplacent une figure sans changer ses longueurs ni son aire.
Une homothétie de rapport $k$ multiplie les longueurs par $k$ (si $k$ est positif ; sinon par $|k|$ ).
Dans une homothétie de rapport $k$ , les aires sont multipliées par $k^2$ : on élève le rapport au carré.
Pour trouver un rapport à partir de deux aires, on prend la racine carrée du quotient des aires.
Les angles et la forme sont conservés par une homothétie, seule la taille change.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices portent sur une seule question : quand on transforme une figure, que deviennent ses longueurs et son aire ? Tu as déjà rencontré les rotations et les homothéties, tu vas maintenant t'en servir pour prévoir des mesures sans tout recalculer. Le programme de 3e demande justement de comprendre l'effet de quelques transformations sur les figures géométriques ¹.

Rappel : unités et vérifications

Savoir changer d'unité de longueur ou d'aire est aussi très utile dans ces exercices ². Garde ces repères : $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$ et $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ . Pour passer d'une unité d'aire à l'autre, on multiplie ou on divise par le carré du facteur des longueurs, exactement comme pour un rapport d'homothétie.

Quand un énoncé donne un plan à l'échelle, la réduction est une homothétie dont le rapport est l'échelle elle-même : pour un plan à l'échelle $\frac{1}{50}$ , on a $k = \frac{1}{50}$ . Les exercices les plus longs ci-dessous utilisent cette idée. Cherche d'abord seul, ouvre un indice si tu bloques, et compare enfin à la correction étape par étape.

Les exercices

Exercice 1 Triangle tourné

★☆☆Environ 4 min

Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 5$ cm, $BC = 12$ cm et $AC = 13$ cm. On le fait tourner de $90^\circ$ autour d'un point $O$ : on obtient le triangle $A'B'C'$ . On admet que la rotation conserve les longueurs.

Quel est le périmètre du triangle $A'B'C'$ , en cm ?

Indice 1

Que deviennent les longueurs des côtés après une rotation ?

Indice 2

Le périmètre est la somme des trois côtés.

Voir la correction pas à pas

La rotation conserve les longueurs : $A'B' = 5$ cm, $B'C' = 12$ cm, $A'C' = 13$ cm.
Le périmètre de $A'B'C'$ est la somme de ses côtés : $5 + 12 + 13 = 30$ cm.

Le triangle a seulement changé de place : son périmètre reste 30 cm.

Exercice 2 Rectangle retourné

★☆☆Environ 4 min

Un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 4 cm est transformé par une symétrie axiale. Quelle est l'aire de son image, en cm² ?

Indice 1

Une symétrie orthogonale conserve-t-elle les aires ?

Indice 2

Calcule d'abord l'aire du rectangle de départ.

Voir la correction pas à pas

L'aire du rectangle de départ vaut $7 \times 4 = 28$ cm².
Une symétrie orthogonale conserve les aires ², donc l'image a la même aire.
L'aire de l'image est donc $28$ cm².

L'image est le rectangle « retourné » : même forme, même taille, aire 28 cm².

Exercice 3 Un segment agrandi

★☆☆Environ 4 min

Un segment $[MN]$ mesure 4,5 cm. On lui applique une homothétie de rapport 3. Quelle est la longueur de l'image $[M'N']$ , en cm ?

Indice 1

Pour une longueur, on multiplie par le rapport.

Indice 2

Pense à écrire 4,5 sous forme de fraction si tu préfères : $\frac{9}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

Les longueurs sont multipliées par le rapport $k = 3$ .
On calcule $M'N' = 3 \times 4{,}5 = 13{,}5$ cm.

Le segment agrandi mesure 13,5 cm.

Exercice 4 Rectangle agrandi

★★☆Environ 6 min

Un rectangle mesure 3 cm sur 5 cm. On lui applique une homothétie de rapport 2. Calcule l'aire de l'image de deux façons : en calculant ses nouvelles dimensions, puis en utilisant le rapport. Donne le résultat en cm².

Indice 1

Calcule les nouvelles dimensions : chaque côté est multiplié par 2.

Indice 2

Compare avec l'aire de départ multipliée par $2^2$ .

Voir la correction pas à pas

Les côtés de l'image mesurent $2\times 3 = 6$ cm et $2 \times 5 = 10$ cm.
Son aire vaut $6 \times 10 = 60$ cm².
Vérification : l'aire de départ est $3\times 5 = 15$ cm², et $15 \times 2^2 = 60$ cm². Les deux méthodes concordent.

L'aire est passée de 15 cm² à 60 cm² : elle a été multipliée par 4, pas par 2.

Exercice 5 Triangle réduit

★★☆Environ 6 min

Un triangle a une aire de 48 cm². On le réduit par une homothétie de rapport 0,5. Quelle est l'aire du triangle obtenu, en cm² ?

Indice 1

Le rapport est inférieur à 1 : l'aire va diminuer.

Indice 2

Multiplie l'aire par $k^2$ , avec $k = 0{,}5$ .

Voir la correction pas à pas

Le rapport est $k = 0{,}5 = \frac{1}{2}$ .
Les aires sont multipliées par $k^2 = \frac{1}{4}$ .
Aire de l'image : $48 \times \frac{1}{4} = 12$ cm².

Diviser les longueurs par 2 divise l'aire par 4 : le triangle réduit a une aire de 12 cm².

Exercice 6 Retrouver le rapport

★★☆Environ 7 min

Un petit carré a une aire de 6 cm². Une homothétie de rapport positif l'agrandit en une figure d'aire 54 cm². Quel est le rapport de cette homothétie ?

Indice 1

Les aires sont multipliées par $k^2$ : écris une équation.

Indice 2

Quel nombre positif a pour carré 9 ?

Voir la correction pas à pas

Le quotient des aires est $\frac{54}{6} = 9$ .
Ce quotient vaut $k^2$ , donc $k^2 = 9$ .
Le rapport est positif : $k = \sqrt{9} = 3$ .

Le rapport est 3. Les longueurs sont triplées alors que l'aire est multipliée par 9.

Exercice 7 Carré translaté puis agrandi

★★★Environ 9 min

Un carré de côté 10 cm est d'abord translaté, puis le carré obtenu est agrandi par une homothétie de rapport 1,5. De combien de cm² l'aire finale dépasse-t-elle l'aire du carré de départ ?

Indice 1

Une translation change la position, pas l'aire.

Indice 2

Calcule l'aire après l'homothétie avec $k^2$ , puis fais la différence.

Voir la correction pas à pas

Aire de départ : $10^2 = 100$ cm².
La translation ne change pas l'aire, car l'aire ne dépend pas de la position ².
Le côté après l'homothétie vaut $1{,}5 \times 10 = 15$ cm, donc l'aire vaut $15^2 = 225$ cm².
Vérification avec le rapport : $100 \times 1{,}5^2 = 100 \times 2{,}25 = 225$ cm².
Différence : $225 - 100 = 125$ cm².

L'aire finale dépasse l'aire initiale de 125 cm². Seule l'homothétie a modifié l'aire.

Exercice 8 Salon sur un plan

★★★Environ 10 min

Un salon rectangulaire mesure 6 m sur 4 m. Sur un plan à l'échelle $\frac{1}{50}$ , il est dessiné par une réduction de rapport $\frac{1}{50}$ . Quelle est l'aire du salon sur le plan, en cm² ?

Indice 1

Convertis d'abord les dimensions en cm : $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$ .

Indice 2

Tu peux réduire chaque côté, ou réduire l'aire avec $k^2 = \frac{1}{2500}$ .

Voir la correction pas à pas

Dimensions réelles : $600$ cm et $400$ cm.
Sur le plan, chaque longueur est divisée par 50 : $\frac{600}{50} = 12$ cm et $\frac{400}{50} = 8$ cm.
Aire sur le plan : $12 \times 8 = 96$ cm².
Vérification : l'aire réelle est $600\times 400 = 240\,000$ cm², et $240\,000 \times \frac{1}{2500} = 96$ cm².

Le salon occupe 96 cm² sur le plan. L'échelle divise les longueurs par 50, mais les aires par 2 500.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut multiplier par $k$ ou par $k^2$ ?

Regarde la grandeur demandée. Une longueur (côté, périmètre, rayon) est multipliée par $k$ . Une aire est multipliée par $k^2$ . Si la transformation est seulement un déplacement ou une symétrie, rien ne change, ni pour les longueurs ni pour l'aire ².

Le périmètre est-il multiplié par $k$ ou par $k^2$ ?

Par $k$ . Un périmètre est une somme de longueurs, et chaque longueur est multipliée par $k$ . Seule l'aire, qui mesure une surface, est multipliée par $k^2$ .

Que faire si le rapport de l'homothétie est négatif ?

Les longueurs sont multipliées par la valeur sans signe de $k$ , et les aires par $k^2$ , qui est toujours positif. Le signe change seulement la position de l'image par rapport au centre. Pour les calculs de longueurs et d'aires, on utilise donc $|k|$ et $k^2$ .

Sources

Programme visé : 3e Mathématiques - Attendus de fin d'année · Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale

3e Mathématiques - Attendus de fin d'année, Éduscol - Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources IREM - Transformations géométriques, IREM Université Grenoble Alpes. Consulté le 6 novembre 2026.

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Comment utiliser ces exercices

Rappel : unités et vérifications

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Exercice 1 Triangle tourné

Exercice 2 Rectangle retourné

Exercice 3 Un segment agrandi

Exercice 4 Rectangle agrandi

Exercice 5 Triangle réduit

Exercice 6 Retrouver le rapport

Exercice 7 Carré translaté puis agrandi

Exercice 8 Salon sur un plan

Les questions qu'on se pose

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