Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure : elle se définit par un centre (point qui ne bouge pas) et un rapportk3.
Si k>1, c'est un agrandissement ; si 0<k<1, c'est une réduction ; si k=1, la figure ne change pas 3.
L'image d'une droite est une droite parallèle 3 : les angles et la forme sont conservés, seules les longueurs changent.
Les longueurs de l'image sont celles de la figure de départ multipliées par k1.
Deux homothéties de même centre, de rapports k et k′, s'enchaînent en une homothétie de même centre et de rapport k×k′3.
Pourquoi parler d'homothétie ?
Quand tu agrandis une photo sur un écran ou que tu réduis un plan, tu gardes la forme de l'objet mais tu changes sa taille. En géométrie, cette idée a un nom : l'homothétie. C'est une transformation, au même titre que la symétrie, la translation ou la rotation que tu as vue juste avant. La différence essentielle : une rotation ne modifie aucune longueur, alors qu'une homothétie les modifie toutes, dans la même proportion.
Le programme de 3e te demande de transformer une figure par rotation et par homothétie, puis de calculer des longueurs dans une homothétie de rapport donné 1. Le programme précise aussi que ces transformations servent à décrire ou à construire certains objets, notamment les frises, les pavages et les rosaces 2. Dans ce cours, tu apprendras à définir une homothétie, à construire l'image d'un point puis d'une figure, à utiliser ses propriétés, et à faire le lien avec le théorème de Thalès.
Définition : centre et rapport
Concrètement, avec l'homothétie de centre O et de rapport k, un point M est transformé en un point M′3. On lit : « M′ est l'image de M ». Le point M′ se trouve toujours sur la droite (OM) : le centre, le point de départ et son image sont alignés. Ce qui change selon k, c'est la distance au centre : on a OM′=k×OM lorsque k est positif.
Au collège, on travaille avec un rapport positif. Le programme indique que les homothéties de rapport négatif ne sont pas à développer au cycle 4 2. Dans la suite, k désigne donc toujours un nombre strictement positif.
Agrandissement, réduction ou rien du tout
Le rapport k décide de la nature de la transformation. Imagine un élastique tendu depuis le centre : plus k est grand, plus les points s'éloignent du centre.
Effet du rapport sur la figure
Rapport $k$
Nature de la transformation
$k>1$
Agrandissement
$0<k<1$
Réduction
$k=1$
Identité : rien ne change
Effet du rapport sur la figure · Le rapport décide de l'effet sur la taille de la figure.
Construire l'image d'un point et d'une figure
TracerTrace la demi-droite [OM).
MesurerMesure la distance OM.
CalculerCalcule OM' = k × OM.
PlacerPlace M' à cette distance de O.
Construire l'image d'un point · La méthode s'applique à chaque sommet de la figure.Agrandissement de rapport 2 · Le triangle OA'B' est l'image de OAB par l'homothétie de centre O et de rapport 2.
Les propriétés d'une homothétie
Démonstration · Pourquoi l'image d'une droite est parallèle
Le lien avec le théorème de Thalès l'explique : si A′ et B′ sont les images de A et B par la même homothétie de centre O, alors l'égalité des rapports de longueurs OAOA′=OBOB′=k est vérifiée, et la réciproque du théorème de Thalès permet d'affirmer que (AB) et (A′B′) sont parallèles 3. Cette démonstration repose donc sur la proportionnalité des longueurs.
Homothétie, Thalès et triangles semblables
Le programme invite à relier le théorème de Thalès, l'homothétie et la proportionnalité, ainsi que les triangles semblables 2. L'idée est simple : la configuration de Thalès, c'est un triangle et son agrandissement ou sa réduction, avec un sommet commun O.
Enchaîner deux homothéties
Rédiger et réussir au DNB
Exercices corrigés
Exercice 1 Image d'un point
★☆☆Environ 5 min
On considère l'homothétie de centre O et de rapport 3. Le point A est tel que OA=4 cm. Calcule la distance OA′, où A′ est l'image de A.
Indice 1
Utilise la relation OA′=k×OA.
Indice 2
Le rapport est supérieur à 1 : l'image est plus loin du centre.
Voir la correction pas à pas
Le rapport vaut k=3 et OA=4 cm.
L'image A′ est alignée avec O et A, et OA′=k×OA.
On calcule OA′=3×4=12 cm.
La distance OA′ vaut 12 cm : c'est un agrandissement, l'image est plus éloignée du centre.
Exercice 2 Une réduction
★☆☆Environ 5 min
Le segment [AB] mesure 18 cm. On lui applique l'homothétie de rapport 21. Quelle est la longueur de [A′B′] ? Quelle est la position de (A′B′) par rapport à (AB) ?
Indice 1
Les longueurs sont multipliées par le rapport.
Indice 2
Pense à la propriété des droites.
Voir la correction pas à pas
Le rapport 21 est inférieur à 1 : c'est une réduction.
On multiplie la longueur par le rapport : A′B′=21×18=9 cm.
Une homothétie transforme une droite en une droite parallèle : (A′B′)∥(AB).
A′B′=9 cm et les droites (A′B′) et (AB) sont parallèles.
Exercice 3 Retrouver le rapport
★★☆Environ 8 min
Une homothétie de centre O transforme M en M′. On donne OM=5 cm et OM′=20 cm, avec M′ sur la demi-droite [OM). Détermine le rapport k et précise la nature de la transformation.
Indice 1
Le rapport est le quotient de la longueur de l'image par la longueur de départ.
Indice 2
Compare ensuite k à 1.
Voir la correction pas à pas
Comme OM′=k×OM, on a k=OMOM′.
On calcule k=520=4.
Comme 4>1, c'est un agrandissement.
Le rapport vaut 4 et la transformation est un agrandissement.
Exercice 4 Deux homothéties de même centre
★★★Environ 10 min
On applique à une figure l'homothétie de centre O et de rapport 2, puis l'homothétie de centre O et de rapport 3. Un segment de la figure de départ mesure 5 cm. Quelle est la longueur de son image finale ? Quelle est la transformation obtenue ?
Indice 1
Pour deux homothéties de même centre, les rapports se multiplient.
Indice 2
Applique ensuite le rapport total au segment.
Voir la correction pas à pas
Les deux homothéties ont le même centre O : leur enchaînement est une homothétie de centre O.
Son rapport est le produit des rapports : 2×3=6.
La longueur finale est 6×5=30 cm.
La transformation est l'homothétie de centre O et de rapport 6, et le segment image mesure 30 cm.
Quiz
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Le centre est le point invariant de l'homothétie 3. Le milieu d'un segment ne reste pas en place : il est transformé comme n'importe quel autre point. Ne confonds pas le centre avec un point quelconque de la figure.
Un rapport positif inférieur à 1 donne une réduction 3. Ce n'est pas un agrandissement, qui demande un rapport supérieur à 13. L'identité correspond à k=13.
Si k=1, chaque point est invariant : la transformation envoie chaque point sur lui-même 3. Il n'y a ni agrandissement ni réduction.
L'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle 3. La perpendicularité est une confusion avec la rotation d'un quart de tour. Une droite n'a pas de longueur, et elle ne passe par le centre que dans des cas particuliers.
Les longueurs sont multipliées par le rapport 1 : 5×3=15. Le résultat 0,6 (division) est l'erreur classique.
Les rapports se multiplient : on obtient une homothétie de centre O et de rapport kk′3. L'addition est une confusion fréquente, mais 2 puis 3 donnent 6 et non 5.
L'homothétie est un agrandissement ou une réduction, c'est-à-dire un changement d'échelle 3 : la forme est conservée, les longueurs changent.
Le rapport est OMOM′=82=0,25. L'inverse, 4, serait le rapport de la transformation qui ramène M′ en M. Ici le rapport est inférieur à 1 : c'est une réduction 3.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre une homothétie et une rotation ?
Une rotation fait tourner une figure autour d'un point sans changer ses longueurs. Une homothétie agrandit ou réduit la figure par rapport à un centre 3 et conserve la direction des droites, dont les images sont parallèles aux droites de départ 3.
Comment savoir si c'est un agrandissement ou une réduction ?
Regarde le rapport k. Si k>1, c'est un agrandissement ; si 0<k<1, c'est une réduction ; si k=1, la figure ne change pas 3.
À quoi sert l'homothétie ?
Elle sert à modéliser les agrandissements et les réductions (cartes, plans, maquettes), à comprendre les triangles semblables et le théorème de Thalès 2, et à décrire ou construire des motifs comme les frises, pavages et rosaces 2.
Est-ce que le rapport peut être négatif ?
En mathématiques générales, oui, mais le programme de cycle 4 ne développe pas les homothéties de rapport négatif 2. Dans ce cours, le rapport est donc toujours positif.
Que demande le programme sur les longueurs ?
Tu dois savoir calculer des longueurs dans une homothétie de rapport donné 1. La méthode : multiplier la longueur de départ par le rapport. Le calcul des aires et volumes est abordé dans le chapitre suivant, sur l'effet d'une transformation.