Les rotations : cours de 3e

Une porte qui pivote sur ses gonds, l'aiguille d'une horloge, une roue de vélo, un manège : tous ces mouvements ont un point commun. Quelque chose tourne autour d'un point fixe. En mathématiques, cette idée devient une transformation du plan que l'on appelle une rotation.¹

Dans ce cours, tu vas apprendre à dire précisément ce qu'est une rotation, à construire l'image d'un point puis d'une figure avec tes instruments, et à éviter les erreurs que l'on voit le plus souvent dans les copies. Tu n'as besoin que de ce que tu connais déjà : le cercle, le compas, le rapporteur et la mesure d'un angle.

Une transformation, c'est une règle qui, à chaque point du plan, associe un autre point appelé son image. Pour une rotation, la règle consiste à faire « pivoter » tout le plan autour d'un même point. Chaque point de la figure de départ se déplace, et la figure obtenue est l'image de la première.¹

Ce chapitre ouvre la série des transformations de 3e. Il prépare les homothéties, puis l'étude de l'effet d'une transformation sur les longueurs et les aires.

Pour décrire une rotation sans ambiguïté, il faut donc trois informations :

• le centre : le point autour duquel tout tourne ;
• l'angle : de combien on tourne, en degrés ;
• le sens : dans quelle direction on tourne.

Si une seule de ces informations manque, deux élèves peuvent faire deux dessins différents et avoir chacun raison de leur côté. Un énoncé sérieux donne toujours les trois.

Pourquoi un tel choix ? C'est une convention, comme celle qui fait écrire de gauche à droite. Tout le monde s'accorde dessus pour se comprendre. On la retrouve en astronomie : vue d'un point très éloigné dans la direction du nord, la Terre tourne sur elle-même dans le sens direct, et elle tourne aussi autour du Soleil dans le sens direct.³

Cette phrase contient deux informations très utiles pour toi.

1. Le cercle de centre O qui passe par M passe aussi par M'. Donc les segments $[OM]$ et $[OM']$ sont deux rayons de ce cercle : $OM' = OM$.
2. L'angle $\widehat{MOM'}$ mesure l'angle de la rotation, car M' est obtenu en tournant de cet angle.

Tu peux donc toujours vérifier ton dessin avec ces deux contrôles : la distance au centre n'a pas changé, et l'angle entre $[OM]$ et $[OM']$ vaut bien l'angle demandé.

Une figure est un ensemble de points. Appliquer une rotation à une figure, c'est appliquer la rotation à chacun de ses points. L'image de la figure bleue est alors la figure rouge, et chaque point bleu a son point rouge correspondant, obtenu sur un cercle centré sur le point de rotation.¹

Tu ne vas évidemment pas construire une infinité de points. Pour un polygone, il suffit de construire les images des sommets, puis de les relier dans le même ordre.

La Terre tourne sur elle-même, autour de l'axe qui relie le pôle Nord au pôle Sud. Ce mouvement s'appelle la rotation de la Terre.³ Il ne faut pas le confondre avec le mouvement de la Terre autour du Soleil, qui s'appelle la révolution.³

La composante principale de la rotation de la Terre s'effectue en moyenne en 23 h 56 min 4,1 s.³ C'est un tour complet, donc un angle de $360^\circ$, effectué à peu près en une journée.

On attribue souvent la première formulation de cette idée à Philolaos de Crotone, un astronome grec du Ve siècle avant notre ère, mais des auteurs anciens citent aussi Hicétas ou Ecphantos.³

Que se passe-t-il si on applique la même rotation plusieurs fois de suite à un même point ? À chaque étape, le point se déplace et tourne en rond « par à-coups ».¹

Tourner de $30^\circ$ puis encore de $30^\circ$ revient à tourner de $60^\circ$ au total, puis de $90^\circ$ après la troisième fois. Les angles s'additionnent, et le point reste toujours sur le même cercle puisque le centre ne change pas.