Rotations : exercices corrigés de 3e

Vingt minutes sur soixante font un tiers de tour : $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$.

L'angle est donc $\frac{1}{3} \times 360° = 120°$.

Une aiguille d'horloge tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, c'est-à-dire l'inverse du sens direct ³ : la rotation est de sens indirect.

Les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ sont sur le cercle de centre $O$, ce qui est cohérent avec une rotation de centre $O$ ¹.

Autour de $O$, les cinq angles égaux remplissent un tour complet de $360°$.

Chaque angle vaut donc $\frac{360°}{5} = 72°$.

L'angle de la rotation, celui qui fait passer de $A$ à $B$, est $\widehat{AOB} = 72°$.

Le sens des aiguilles d'une montre est le sens indirect, l'inverse du sens direct ³.

Un tour complet vaut $360°$ : pour arriver au même point en tournant dans l'autre sens, il faut parcourir le reste du tour.

Le reste est $360° - 70° = 290°$.

Le point $B'$ est sur le cercle de centre $A$ passant par $B$ ¹, donc $AB' = AB = 5$ cm.

Le triangle $ABB'$ est donc isocèle en $A$, avec un angle au sommet $\widehat{BAB'} = 60°$.

Les deux angles à la base sont égaux et la somme des angles du triangle vaut $180°$ : chacun vaut $\frac{180° - 60°}{2} = 60°$.

Les trois angles valent $60°$ : le triangle est équilatéral et $BB' = AB = 5$ cm.

Calcule $OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Calcule $OA' = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ : on a bien $OA = OA'$, car $A'$ est sur le cercle de centre $O$ qui passe par $A$ ¹.

Calcule $AA'$ avec les coordonnées : $AA' = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Arrondi : $5\sqrt{2} \approx 7{,}07$.

Contrôle avec Pythagore : le triangle $OAA'$ est rectangle en $O$ avec deux côtés de 5, donc $AA'^2 = 25 + 25 = 50$. Les deux méthodes concordent.

Les deux rotations ont même centre et même sens : le point avance de $100° + 80° = 180°$ au total.

Le point $P''$ est sur le cercle de centre $O$ qui passe par $P$ ¹, donc $OP'' = OP = 6$ cm.

Comme l'angle $\widehat{POP''}$ vaut $180°$, les points $P$, $O$ et $P''$ sont alignés, avec $O$ entre $P$ et $P''$.

Le segment $[PP'']$ est donc un diamètre du cercle : $PP'' = 6 + 6 = 12$ cm.

Pendant une rotation complète sur elle-même, le point revient à sa position de départ : il a parcouru $360°$.

Convertis la durée : $23 + \frac{56}{60} = \frac{1436}{60} \approx 23{,}933$ heures.

Calcule l'angle par heure : $\frac{360}{23{,}933} \approx 15{,}04°$ par heure.

Si la durée était exactement de 24 h, on obtiendrait $\frac{360}{24} = 15°$ par heure. La durée de 23 h 56 min étant un peu plus courte, on parcourt le même tour en moins de temps : l'angle par heure est donc un peu plus grand que $15°$.

Après $n$ applications, l'angle total est $40n$ degrés.

Le point est revenu à sa place quand $40n$ est un multiple de $360$ (un nombre entier de tours).

Cherche le plus petit multiple commun de $40$ et $360$ : $360 = 9 \times 40$, donc c'est $360$.

On résout $40n = 360$, d'où $n = 9$.

Vérification : après 9 applications, le point a parcouru $9 \times 40° = 360°$, soit exactement un tour. Après 8, il a parcouru $320°$, ce qui n'est pas un multiple de $360$.