Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Factoriser, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit : ka+kb=k(a+b)5.
On s'appuie sur la distributivité de la multiplication sur l'addition, lue de droite à gauche 2.
Méthode : repérer le facteur commun, l'écrire devant une parenthèse, puis compléter la parenthèse terme par terme.
Si un terme est égal au facteur commun, il laisse un 1 dans la parenthèse : 27x+3=3(9x+1)1.
Vérification : on développe le résultat et on doit retrouver l'expression de départ.
À quoi sert de factoriser ?
Tu sais déjà développer : transformer un produit comme 3(x+4) en une somme 3x+12. Factoriser, c'est faire le chemin inverse. Tu pars d'une somme et tu cherches à la réécrire sous forme de produit.
Pourquoi s'embêter à faire ce trajet retour ? Parce qu'un produit est souvent plus pratique qu'une somme. Un produit se simplifie plus facilement dans une fraction, il permet de calculer de tête certains résultats, et plus tard, en 3e, il servira à résoudre des équations. Dans les ressources du programme, on trouve d'ailleurs l'idée de factoriser une expression numérique pour la calculer mentalement 4.
Dans ce cours, tu vas apprendre à reconnaître le facteur commun dans une expression, à l'écrire en facteur, et à contrôler ton résultat. Tu as besoin de deux acquis : développer avec la simple distributivité, et savoir réduire une expression.
Définition : somme et produit
Cette notion de « dernière opération » est la clé pour distinguer une somme d'un produit. Regarde ces deux écritures :
3x+12 : pour la calculer, tu fais d'abord 3x, puis tu ajoutes 12. La dernière opération est une addition : c'est une somme.
3(x+4) : tu calcules d'abord ce qui est entre parenthèses, puis tu multiplies par 3. La dernière opération est une multiplication : c'est un produit.
Les deux écritures représentent le même nombre, quelle que soit la valeur de x. Seule la forme change. Le vocabulaire du programme parle de somme, de produit et de différence pour décrire ces écritures 2.
Le principe : la distributivité à l'envers
Quand tu développes, tu lis l'égalité de gauche à droite : tu passes de k(a+b) à ka+kb. Quand tu factorises, tu la lis de droite à gauche : tu passes de ka+kb à k(a+b). Le nombre ou la lettre k, présent dans chaque terme, s'appelle le facteur commun. La factorisation s'appuie bien sur la propriété de distributivité 2.
Démonstration · Pourquoi le résultat est juste
Prenons 6x+9. On remarque que 6=3×2 et 9=3×3. On peut donc écrire :
6x+9=3×2x+3×3
Le nombre 3 apparaît dans les deux termes. Par distributivité, on regroupe :
3×2x+3×3=3(2x+3)
Pour être sûr, on développe : 3(2x+3)=6x+9. On retrouve l'expression de départ.
La méthode pas à pas
RepérerCherche le facteur présent dans chaque terme.
DécomposerÉcris chaque terme comme un produit avec ce facteur.
SortirPlace le facteur commun devant une parenthèse.
CompléterMets ce qui reste de chaque terme, avec son signe.
VérifierDéveloppe : tu dois retrouver l'expression de départ.
Factoriser en 5 gestes · Les étapes de la factorisation par facteur commun.
Quel facteur commun choisir ?
Pour 12x−30, tu aurais pu choisir 2 ou 3 comme facteur commun, car 12 et 30 sont multiples de 2 et de 3. Tu aurais alors obtenu 2(6x−15) ou 3(4x−10). Ces écritures sont exactes, mais on peut encore les transformer : dans 2(6x−15), la parenthèse contient encore 6 et 15, qui sont multiples de 3.
Factoriser pour calculer de tête
La factorisation ne sert pas qu'aux lettres. Avec des nombres seuls, elle transforme des calculs pénibles en calculs rapides. Les ressources d'accompagnement du programme évoquent cet automatisme : repérer un facteur commun dans une expression numérique pour la calculer mentalement 4.
Erreurs fréquentes et vérification
Ce que tu feras ensuite
Maîtriser la factorisation te prépare à l'étape suivante : prouver une égalité. Pour montrer que deux expressions sont égales, tu transformeras l'une des deux, en la développant ou en la factorisant, jusqu'à retrouver l'autre.
La notion dépasse largement le collège. Elle sert plus tard à simplifier des fractions, à résoudre des équations, et même en cryptographie, où la factorisation des grands nombres entiers en facteurs premiers est à la base d'un système de sécurité célèbre 5. Pour l'instant, retiens simplement que savoir passer d'une somme à un produit, et inversement, est un geste de base du calcul littéral.
Exercices corrigés
Exercice 1 Factoriser puis calculer
★☆☆Environ 6 min
Factorise E=14x−21 en cherchant le plus grand facteur commun.
Vérifie ton résultat en le développant.
Calcule la valeur de E pour x=5 en utilisant la forme factorisée.
Indice 1
Cherche le plus grand nombre qui divise à la fois 14 et 21.
Indice 2
Écris 14=7×2 et 21=7×3.
Voir la correction pas à pas
Les diviseurs communs de 14 et 21 sont 1 et 7. Le plus grand est 7.
On écrit 14x=7×2x et 21=7×3.
On met 7 en facteur : E=7(2x−3).
Vérification : 7(2x−3)=14x−21. On retrouve l'expression de départ.
Pour x=5 : E=7×(2×5−3)=7×7=49.
E=7(2x−3) et, pour x=5, E=49.
Exercice 2 Un calcul mental grâce au facteur commun
★★☆Environ 6 min
On pose A=45×17+45×3.
Quel est le facteur commun ?
Écris A sous forme factorisée.
Calcule A de tête.
Indice 1
Quel nombre apparaît dans les deux produits ?
Indice 2
Après avoir mis ce nombre en facteur, additionne ce qui reste dans la parenthèse.
Voir la correction pas à pas
Le nombre 45 apparaît dans les deux produits : c'est le facteur commun.
On le place devant une parenthèse : A=45×(17+3).
On calcule la parenthèse : 17+3=20.
On termine : A=45×20=900.
A=45×(17+3)=900.
Exercice 3 Aire d'une figure composée
★★★Environ 8 min
Deux rectangles sont accolés par un côté de même longueur. Ils ont la même hauteur 6 cm. Le premier a pour base 2,5 cm, le second a pour base 7,5 cm.
Écris l'aire totale sous forme d'une somme de deux produits.
Factorise cette expression.
Calcule l'aire totale en cm².
Indice 1
L'aire d'un rectangle est le produit de ses deux dimensions.
Indice 2
La hauteur 6 est présente dans chacun des deux produits.
Voir la correction pas à pas
Aire du premier rectangle : 6×2,5. Aire du second : 6×7,5.
Somme des aires : 6×2,5+6×7,5.
Le facteur commun est 6 : on obtient 6×(2,5+7,5).
On calcule la parenthèse : 2,5+7,5=10.
Aire totale : 6×10=60 cm².
L'aire totale vaut 60 cm², soit l'aire d'un grand rectangle de 6 cm sur 10 cm.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On écrit 6x=3×2x et 9=3×3, donc 6x+9=3(2x+3). L'erreur tentante 3(2x+9) garde le 9 sans le diviser par 3 : en développant, on obtient 6x+27. Les deux autres ne redonnent pas 6x+9 non plus : 6(x+9)=6x+54 et 9(x+1)=9x+9.
Le terme 3 vaut 3×1, donc il laisse un 1 dans la parenthèse : 3(9x+1)=27x+3. Écrire 3(9x) oublie ce 1 : cela donne seulement 27x. 3(9x+3) donne 27x+9, et 27(x+3) donne 27x+81.
C'est faux. Le facteur 5 doit être sorti des deux termes : 10=5×2, donc 5x+10=5(x+2). L'écriture 5(x+10) se développe en 5x+50, ce qui n'est pas l'expression de départ.
On factorise : 25×(13+7)=25×20=500. Calculer séparément 325 et 175 donne la même somme, mais la factorisation est plus rapide.
Dans 4(x+3) et x(5−2), la dernière opération est une multiplication : ce sont des produits. 4x+12 se termine par une addition, et 3x−6+1 aussi : ce sont des sommes, même si elles contiennent des produits à l'intérieur.
6(2x−5)=12x−30 : c'est la bonne factorisation. Dans 6(2x−30), le 30 n'a pas été divisé par 6 ; dans 12(x−30), le 30 n'a pas été divisé par 12 ; et 6(x−5)=6x−30 oublie de diviser 12x par 6.
C'est la distributivité lue de droite à gauche : le facteur k commun aux deux termes se place devant la parenthèse. k(a+b)=ka+b est une erreur classique de développement, où k ne multiplie que le premier terme. Les deux dernières égalités sont fausses pour la plupart des valeurs, par exemple avec k=a=b=1.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quel facteur commun choisir ?
Regarde chaque terme de la somme. Pour les nombres, cherche un diviseur commun, de préférence le plus grand. Pour les lettres, regarde si la même lettre est présente dans tous les termes. Après avoir factorisé, contrôle la parenthèse : si ses termes ont encore un diviseur commun, continue.
Quelle est la différence entre factoriser et réduire ?
Réduire, c'est regrouper des termes semblables pour obtenir une écriture plus courte, comme 15x+18x=33x. Factoriser, c'est écrire sous forme d'un produit, comme 12x−30=6(2x−5). Dans les deux cas, on met un facteur commun en évidence, mais le résultat attendu n'est pas le même : une somme plus courte d'un côté, un produit de l'autre.
Comment vérifier que ma factorisation est juste ?
Développe-la avec la distributivité. Si tu retrouves exactement l'expression de départ, c'est juste. Par exemple, 4(2x+5) donne 8x+20. Cette vérification prend quelques secondes et évite la plupart des erreurs.
Que faire quand un terme est égal au facteur commun ?
Il reste un 1 à sa place dans la parenthèse. Comme 3=3×1, on écrit 27x+3=3(9x+1). Si tu oublies ce 1, le terme disparaît et l'égalité devient fausse.
À quoi sert la factorisation en dehors des exercices ?
Elle permet de calculer de tête (par exemple 12×7+12×3=12×10), de simplifier des écritures fractionnaires et, plus tard, de ramener une équation à un produit de facteurs 5. Elle prépare aussi l'étape suivante du programme : prouver une égalité.