Factoriser : exercices corrigés de 4e

Pour $A$ : 6 divise 6 et 18, car $18 = 6 \times 3$. Donc $A = 6(x + 3)$.

Pour $B$ : 5 divise 15 et 10, avec $15a = 5 \times 3a$ et $10 = 5 \times 2$. Donc $B = 5(3a - 2)$. Le signe moins reste dans la parenthèse.

Pour $C$ : 7 divise 21 et 14, avec $21 = 7 \times 3$ et $14y = 7 \times 2y$. Donc $C = 7(3 + 2y)$.

Pour $D$ : le plus grand diviseur commun de 24 et 36 est 12, avec $24x = 12 \times 2x$ et $36 = 12 \times 3$. Donc $D = 12(2x + 3)$.

Contrôle de $D$ : $12 \times 2x + 12 \times 3 = 24x + 36$. On retrouve l'expression de départ.

Dans $E$, le facteur 35 apparaît dans les deux produits : $E = 35 \times (8 + 2)$.

On calcule la parenthèse : $8 + 2 = 10$.

On termine : $E = 35 \times 10 = 350$.

Dans $F$, le facteur commun est 4 : $F = 4 \times (73 - 23) = 4 \times 50 = 200$.

Pour $G$ : $9x = 9 \times x$ et $9 = 9 \times 1$. Donc $G = 9(x + 1)$.

Pour $H$ : le plus grand diviseur commun de 8 et 4 est 4, avec $8x = 4 \times 2x$ et $4 = 4 \times 1$. Donc $H = 4(2x + 1)$.

Pour $K$ : $5x = 5 \times x$ et $10 = 5 \times 2$. Donc $K = 5(x - 2)$.

Pour $L$ : on met $-3$ en facteur : $-3x = -3 \times x$ et $-12 = -3 \times 4$. Donc $L = -3(x + 4)$.

Contrôle de $L$ : $-3 \times x + (-3) \times 4 = -3x - 12$.

Pour $M$ : $x^2 = x \times x$ et $5x = 5 \times x$. Le facteur commun est $x$. Donc $M = x(x + 5)$.

Pour $N$ : le facteur numérique commun est 3 et le facteur littéral commun est $x$. Le facteur commun est donc $3x$, avec $3x^2 = 3x \times x$ et $6x = 3x \times 2$. Donc $N = 3x(x - 2)$.

Pour $P$ : le plus grand diviseur commun de 8 et 12 est 4, et $a$ est présent partout. Le facteur commun est $4a$, avec $8a^2 = 4a \times 2a$ et $12a = 4a \times 3$. Donc $P = 4a(2a + 3)$.

Contrôle de $P$ : $4a \times 2a + 4a \times 3 = 8a^2 + 12a$.

Aire du premier rectangle : $7 \times x = 7x$, en cm². Aire du second : $7 \times 4 = 28$, en cm².

Somme des deux aires : $\mathcal{A} = 7x + 28$.

Le facteur commun est 7, qui est la largeur : $\mathcal{A} = 7(x + 4)$. Cela correspond à un grand rectangle de largeur 7 cm et de longueur $x + 4$ cm.

Pour $x = 6$ : $\mathcal{A} = 7 \times (6 + 4) = 7 \times 10 = 70$.

L'aire totale vaut 70 cm².

Première proposition : $4(2x) = 8x$, ce qui ne donne pas $8x + 4$. L'élève a oublié le 1 : la bonne réponse est $4(2x + 1)$.

Deuxième proposition : $5(x - 10) = 5x - 50$, ce qui ne donne pas $5x - 10$. Il fallait diviser 10 par 5 : la bonne réponse est $5(x - 2)$.

Troisième proposition : $6(x + 1) = 6x + 6$. Elle est juste.

Quatrième proposition : $6(2x + 18) = 12x + 108$. Le terme 18 n'a pas été divisé par 6 : la bonne réponse est $6(2x + 3)$.

Pour $Q$ : la parenthèse $(x + 2)$ est commune. Il reste $(3x - 1)$ dans le premier terme et $5$ dans le second. Donc $Q = (x + 2)\big[(3x - 1) + 5\big]$.

On réduit le crochet : $3x - 1 + 5 = 3x + 4$. Donc $Q = (x + 2)(3x + 4)$.

Pour $R$ : la parenthèse $(x - 3)$ est commune. Il reste $4$ dans le premier terme et $x$ dans le second, qui est précédé d'un signe moins. Donc $R = (x - 3)(4 - x)$.

Pour $S$ : la parenthèse $(x - 5)$ est commune. Il reste $(x + 1)$ et $2x$, ce dernier précédé d'un signe moins. Donc $S = (x - 5)\big[(x + 1) - 2x\big]$.

On réduit le crochet : $x + 1 - 2x = 1 - x$. Donc $S = (x - 5)(1 - x)$.

Contrôle de $R$ en prenant $x = 5$ : l'expression de départ vaut $4 \times 2 - 5 \times 2 = -2$ et la forme factorisée vaut $2 \times (-1) = -2$.

Le facteur commun est $(2x + 3)$ : $T = (2x + 3)\big[(x - 1) + (x + 4)\big]$.

On réduit le crochet : $x - 1 + x + 4 = 2x + 3$.

On obtient $T = (2x + 3)(2x + 3) = (2x + 3)^2$.

Pour $x = 1$ : $2 \times 1 + 3 = 5$, donc $T = 5 \times 5 = 25$.

Contrôle avec l'expression de départ : $(5) \times 0 + 5 \times 5 = 25$. Les deux résultats sont identiques.