Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Tester une égalité avec une valeur de x peut montrer qu'elle est fausse, jamais qu'elle est vraie pour toutes les valeurs.1
Pour prouver qu'une égalité est vraie quel que soit x, on utilise le calcul littéral : développer, réduire, factoriser.2
Première méthode : on transforme un membre, étape par étape, jusqu'à obtenir l'autre.4
Seconde méthode : on transforme les deux membres pour arriver au même résultat.4
Une seule valeur qui ne marche pas suffit pour affirmer qu'une égalité est fausse : c'est un contre-exemple.
Pourquoi apprendre à prouver une égalité
Tu as déjà écrit beaucoup d'égalités : 8+5=13, 3×4=12, ou encore 2(x+3)=2x+6. Mais toutes ne se valent pas. Certaines sont vraies tout le temps, d'autres seulement pour une valeur, d'autres encore ne sont jamais vraies. Dans ce cours, tu apprends à savoir laquelle est laquelle, et surtout à le prouver avec des arguments solides.
En mathématiques, il faut distinguer une opinion, une impression, une conjecture et un énoncé prouvé.1 Quand tu testes quelques valeurs et que ça marche, tu as une conjecture : tu penses que l'égalité est vraie. Quand tu la démontres par le calcul, tu as un énoncé prouvé : plus personne ne peut en douter.
Tu t'appuies sur trois savoir-faire vus juste avant ce chapitre :
développer avec la simple distributivité : k(a+b)=ka+kb ;
développer avec la double distributivité : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ;
factoriser, c'est-à-dire repartir de la forme développée pour retrouver un produit.
Prouver une égalité, c'est souvent utiliser ces trois outils dans le bon ordre.
Tester une égalité par substitution
Le contre-exemple : prouver qu'une égalité est fausse
Pour montrer qu'une égalité n'est pas vraie pour toutes les valeurs, un seul test raté suffit. Ce test s'appelle un contre-exemple. C'est la méthode la plus rapide pour démasquer une égalité fausse.
Un test réussi ne prouve rien
Voici le piège le plus important du chapitre. Tu testes une égalité avec x=2 : elle marche. Avec x=3 : elle marche encore. Avec x=5 : elle marche toujours. Peut-on dire qu'elle est vraie pour tous les nombres ? Non. Il existe une infinité de nombres, et tu n'en as essayé que trois.
Prouver une égalité : la méthode du membre unique
Pour établir une égalité vraie pour toutes les valeurs de la lettre, on utilise le calcul littéral : la lettre représente un nombre quelconque, et on transforme les écritures sans jamais choisir de valeur.2 La première méthode consiste à partir d'un membre et à le transformer par étapes successives jusqu'à retrouver l'autre.4
Prouver une égalité : la méthode des deux membres
Parfois, aucun des deux membres ne se transforme simplement en l'autre. On transforme alors chacun séparément, et on montre qu'ils aboutissent à la même expression.4 Cette méthode est utile quand les deux côtés contiennent des produits.
TesterRemplacer x par 2 ou 3 : un échec réfute l'égalité.
ChoisirUn membre unique ou les deux membres.
TransformerDévelopper, réduire, factoriser ligne par ligne.
ConclureÉcrire : l'égalité est vraie pour tout x.
Prouver une égalité : les quatre gestes · Le chemin pour passer d'une conjecture à une preuve.
Choisir la bonne stratégie et éviter les pièges
Exercices corrigés
Exercice 1 Tester et réfuter
★☆☆Environ 5 min
Un élève affirme que 4(x+5)=4x+5 pour tout nombre x.
Calcule la valeur de 4(x+5) pour x=3.
Calcule la valeur de 4x+5 pour x=3.
Que peux-tu conclure ?
Indice 1
Remplace x par 3 et respecte les priorités : parenthèses d'abord.
Indice 2
Compare ensuite les deux résultats.
Voir la correction pas à pas
On remplace x par 3 dans 4(x+5) : 4×(3+5)=4×8=32.
On remplace x par 3 dans 4x+5 : 4×3+5=12+5=17.
Les deux résultats sont différents : 32=17.
Pour x=3, les deux membres ne sont pas égaux : c'est un contre-exemple. L'égalité est donc fausse. La bonne égalité est 4(x+5)=4x+20.
Exercice 2 Démontrer une égalité avec la double distributivité
★★☆Environ 8 min
Démontre que, pour tout nombre x, (2x+1)(x+3)=2x2+7x+3.
Indice 1
Développe le membre de gauche avec la double distributivité.
Indice 2
Réduis ensuite les termes en x.
Voir la correction pas à pas
On part du membre de gauche : (2x+1)(x+3).
On applique la double distributivité : 2x×x+2x×3+1×x+1×3.
On calcule chaque produit : 2x2+6x+x+3.
On réduit les termes en x : 6x+x=7x, ce qui donne 2x2+7x+3.
Le membre de gauche s'est transformé en 2x2+7x+3, qui est le membre de droite. L'égalité est donc vraie pour toute valeur de x.
Exercice 3 Deux membres à comparer
★★★Environ 10 min
Démontre que, pour tout nombre x, x(x+6)+9=(x+3)(x+3).
Puis vérifie ton résultat avec x=2.
Indice 1
Développe chaque membre séparément.
Indice 2
Pour la vérification, remplace x par 2 dans les deux membres de départ.
Voir la correction pas à pas
Membre de gauche : x(x+6)+9=x×x+x×6+9=x2+6x+9.
Membre de droite : (x+3)(x+3)=x×x+x×3+3×x+3×3, soit x2+3x+3x+9.
On réduit : x2+6x+9.
Les deux membres sont égaux à x2+6x+9.
Vérification pour x=2 : à gauche 2×8+9=25 ; à droite 5×5=25.
Les deux membres se réduisent à la même expression, donc l'égalité est vraie pour tout x. Le test avec x=2 donne 25 des deux côtés : cohérent, mais c'est le calcul littéral qui prouve.
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Un seul contre-exemple suffit : si les deux membres diffèrent pour une valeur, l'égalité n'est pas vraie pour toutes. Trouver des valeurs qui marchent (choix 2 et 3) ne prouve rien, puisqu'une égalité fausse peut être vraie pour certaines valeurs. Et développer n'est pas obligatoire pour réfuter : un test suffit.
On remplace x par 1 : (1+2)(1+5)=3×6=18. L'erreur tentante est de calculer 1+2×1+5=8, en oubliant que les deux parenthèses se multiplient.
C'est faux. Un test réussi ne prouve rien. Ici, pour x=1, le membre de gauche vaut 2×3=6 et celui de droite vaut 1+2+2=5 : l'égalité est fausse. La valeur 0 cachait l'erreur.
La distributivité donne 2(x+3)=2x+6, d'où 2x+6+x, puis 3x+6 en réduisant. Le choix 1 oublie de multiplier le 3 par 2. Le choix 3 additionne des termes qui ne sont pas de même nature. Le choix 4 invoque un test, qui ne prouve rien.
On développe et on réduit chaque membre séparément pour comparer les formes finales. Le test avec une seule valeur ne prouve rien (choix 2). Supposer l'égalité vraie, c'est admettre ce qu'on doit démontrer (choix 3). Le choix 4 décrit la méthode du membre unique, pas celle des deux membres.
(x+2)(x+4)=x2+4x+2x+8=x2+6x+8 et (x+3)(x+3)−1=x2+6x+9−1=x2+6x+8. Le choix 3 oublie de retrancher 1. Le choix 2 inverse 6 et 8. Le choix 4 oublie le terme en x2.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi tester avec des nombres ne suffit-il pas à prouver une égalité ?
Parce qu'il existe une infinité de nombres et que tu n'en testes que quelques-uns. Une égalité fausse peut être vraie pour certaines valeurs, comme x2=3x−2 qui marche pour 1 et 2 mais pas pour 3. Seul un calcul littéral, valable pour une valeur quelconque, démontre qu'une égalité est vraie pour toutes.2
Comment choisir entre la méthode du membre unique et celle des deux membres ?
Si un membre est clairement plus compliqué et que l'autre est déjà réduit, transforme le plus compliqué pour arriver à l'autre. Si les deux côtés contiennent des produits à développer, transforme chacun jusqu'à une forme réduite et compare.4 Les deux méthodes sont acceptées.
Quelle valeur choisir pour chercher un contre-exemple ?
Prends un nombre simple mais pas trop particulier, par exemple 2 ou 3. Les valeurs 0 et 1 cachent parfois l'erreur : 0 annule beaucoup de termes, et avec 1, x, x2 et x3 valent tous 1 : multiplier par x ne change plus rien. Si le premier test réussit, essaie une autre valeur.
Comment rédiger la conclusion d'une preuve ?
Termine par une phrase complète qui nomme ce que tu as montré, par exemple : « Le membre de gauche s'est transformé en celui de droite, donc l'égalité est vraie pour tout nombre x. » Sans cette phrase, ta démonstration reste incomplète.
À quoi ça sert de prouver une égalité ?
À être sûr qu'une formule fonctionne quel que soit le nombre choisi, sans avoir à l'essayer cas par cas. Avec la lettre x qui représente un nombre quelconque, un seul calcul couvre une infinité de valeurs.2 Cette habitude te servira aussi pour factoriser et pour résoudre des équations plus tard.