Prouver une égalité : exercices corrigés de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Tester une égalité, c'est remplacer la lettre par un nombre et comparer les deux membres ; un seul nombre qui échoue prouve que l'égalité est fausse.²
Plusieurs tests réussis ne prouvent rien : ils donnent une conjecture, pas une preuve.¹
Pour prouver une égalité vraie quelle que soit la valeur de la lettre, on transforme un membre par étapes jusqu'à obtenir l'autre, ou les deux jusqu'à une même expression.⁴
Les outils de la preuve : simple distributivité, double distributivité, réduction, factorisation.
Après avoir prouvé, un test numérique sert de contrôle de ta rédaction.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices te font passer de la vérification sur un nombre à la preuve pour tous les nombres. Les premiers sont des tests par substitution, les suivants demandent de développer et de réduire, les derniers t'amènent à démontrer une propriété générale. Cherche chaque exercice sur ton cahier avant d'ouvrir les indices, puis compare ta rédaction à la correction.

Les exercices

Exercice 1 Tester une égalité sur un nombre

★☆☆Environ 5 min

On considère l'égalité $3x+2=5x-4$ .

Calcule chaque membre pour $x=3$ . Quelle valeur commune trouves-tu ?
Calcule chaque membre pour $x=2$ . Que constates-tu ?
L'égalité est-elle vraie pour tous les nombres ?

Indice 1

Remplace $x$ par le nombre dans chaque membre, sans toucher à la forme de l'égalité.

Indice 2

Une égalité vraie pour tous les nombres doit être vraie pour $x=2$ aussi.

Voir la correction pas à pas

Pour $x=3$ : membre de gauche $3\times3+2=11$ .
Pour $x=3$ : membre de droite $5\times3-4=11$ . Les deux membres sont égaux : l'égalité est vraie pour $x=3$ .
Pour $x=2$ : gauche $3\times2+2=8$ ; droite $5\times2-4=6$ . Comme $8\neq6$ , l'égalité est fausse pour $x=2$ .
Conclusion : un seul nombre qui échoue suffit, l'égalité n'est pas vraie pour tous les nombres.

Une égalité peut être vraie pour une valeur et fausse pour une autre. Elle n'est alors pas une égalité valable pour tous les nombres.

Exercice 2 Un test qui réussit

★☆☆Environ 5 min

Léa pense que $2(x+5)=2x+10$ est vraie quel que soit $x$ .

Teste l'égalité pour $x=-4$ et donne la valeur commune des deux membres.
Ce test prouve-t-il l'égalité ?
Prouve-la en développant.

Indice 1

Attention aux signes : $-4+5=1$ .

Indice 2

Développe le membre de gauche avec la simple distributivité.

Voir la correction pas à pas

Pour $x=-4$ : gauche $2\times(-4+5)=2\times1=2$ .
Pour $x=-4$ : droite $2\times(-4)+10=-8+10=2$ . Les deux membres valent $2$ .
Ce test ne prouve rien : il ne vaut que pour $x=-4$ .
Preuve : $2(x+5)=2\times x+2\times5=2x+10$ . Le membre de gauche devient le membre de droite, l'égalité est vraie pour tout $x$ .

Le test donne confiance, le développement donne la preuve.

Exercice 3 Trouver un contre-exemple

★☆☆Environ 6 min

Un élève affirme que $(x+3)^2=x^2+9$ pour tout nombre $x$ .

Calcule chaque membre pour $x=1$ .
Quelle est la différence entre le membre de gauche et celui de droite ?
Que peux-tu conclure ?

Indice 1

$(x+3)^2$ signifie $(x+3)\times(x+3)$ .

Indice 2

Calcule d'abord la parenthèse, puis élève au carré.

Voir la correction pas à pas

Gauche pour $x=1$ : $(1+3)^2=4^2=16$ .
Droite pour $x=1$ : $1^2+9=10$ .
Différence : $16-10=6$ , donc les membres sont différents.
Conclusion : $x=1$ est un contre-exemple, l'égalité est fausse. Elle oublie le terme $6x$ : $(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$ .

Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une égalité est fausse.

Exercice 4 Prouver avec la double distributivité

★★☆Environ 8 min

Prouve que, pour tout nombre $x$ , $(x+2)(x+5)=x^2+7x+10$ .

Puis contrôle ta preuve en calculant la valeur du membre de gauche pour $x=4$ .

Indice 1

Multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.

Indice 2

Réduis ensuite les termes en $x$ .

Voir la correction pas à pas

On part du membre de gauche : $(x+2)(x+5)=x\times x+x\times5+2\times x+2\times5$ .
On écrit : $=x^2+5x+2x+10$ .
On réduit : $=x^2+7x+10$ , qui est le membre de droite. L'égalité est prouvée pour tout $x$ .
Contrôle pour $x=4$ : gauche $(4+2)(4+5)=6\times9=54$ ; droite $16+28+10=54$ .

Après avoir développé, les deux membres sont identiques : le calcul est juste.

Exercice 5 Développer deux expressions

★★☆Environ 8 min

Prouve que, pour tout nombre $x$ , $3(2x-1)-2(x+4)=4x-11$ .

Contrôle ensuite en calculant le membre de gauche pour $x=5$ .

Indice 1

Développe chaque produit séparément.

Indice 2

Quand un signe moins précède une parenthèse, change le signe de chaque terme qu'elle contient.

Voir la correction pas à pas

$3(2x-1)=6x-3$ .
$2(x+4)=2x+8$ .
Donc $3(2x-1)-2(x+4)=6x-3-2x-8$ .
On regroupe : $(6x-2x)+(-3-8)=4x-11$ . L'égalité est prouvée.
Contrôle pour $x=5$ : $3\times9-2\times9=27-18=9$ et $4\times5-11=9$ .

Le contrôle numérique confirme la preuve, sans la remplacer.

Exercice 6 Une identité remarquable à retrouver

★★☆Environ 8 min

Prouve que, pour tout nombre $x$ , $(x-3)(x+3)=x^2-9$ .

En utilisant l'égalité, calcule le membre de gauche pour $x=10$ .

Indice 1

Après développement, deux termes en $x$ vont se compenser.

Indice 2

Pour $x=10$ , calcule $10^2-9$ .

Voir la correction pas à pas

On développe : $(x-3)(x+3)=x\times x+x\times3-3\times x-3\times3$ .
On écrit : $=x^2+3x-3x-9$ .
Les termes $3x$ et $-3x$ s'annulent : $=x^2-9$ . L'égalité est prouvée.
Application pour $x=10$ : $(10-3)(10+3)=7\times13=91$ , et $10^2-9=91$ .

Retenir cette égalité permet de calculer vite, mais la preuve par développement reste ta référence.

Exercice 7 Prouver par factorisation

★★☆Environ 8 min

Prouve que, pour tout nombre $x$ , $x^2+6x=x(x+6)$ en partant du membre de droite, puis prouve que $5x+15-2(x+3)=3(x+3)$ .

Donne la valeur de $3(x+3)$ pour $x=2$ .

Indice 1

Pour la seconde égalité, développe le membre de gauche et cherche le facteur commun.

Indice 2

Pour $x=2$ : $x+3=5$ .

Voir la correction pas à pas

Première égalité : $x(x+6)=x\times x+x\times6=x^2+6x$ . C'est le membre de gauche.
Seconde égalité, membre de gauche : $5x+15-2(x+3)=5x+15-2x-6$ .
On réduit : $=3x+9$ .
On factorise : $3x+9=3(x+3)$ , c'est le membre de droite. L'égalité est prouvée.
Pour $x=2$ : $3\times(2+3)=15$ .

Développer et factoriser sont deux chemins inverses : l'un ou l'autre permet d'aboutir au second membre.

Exercice 8 Une propriété vraie pour tous les entiers

★★★Environ 10 min

Soit $n$ un nombre entier. On veut montrer que la différence entre le carré de $n+1$ et le carré de $n$ est toujours égale à $2n+1$ .

Écris l'égalité à prouver.
Démontre-la.
Vérifie-la pour $n=12$ en donnant la valeur de la différence.

Indice 1

Écris $(n+1)^2=(n+1)(n+1)$ .

Indice 2

Les termes $n^2$ vont se compenser.

Voir la correction pas à pas

Égalité à prouver : $(n+1)^2-n^2=2n+1$ .
On développe : $(n+1)(n+1)=n^2+n+n+1=n^2+2n+1$ .
On soustrait : $n^2+2n+1-n^2=2n+1$ . L'égalité est prouvée pour tout $n$ .
Vérification pour $n=12$ : $13^2-12^2=169-144=25$ et $2\times12+1=25$ .

La lettre $n$ représente n'importe quel entier : un seul calcul prouve la propriété pour tous.

Exercice 9 Une expression qui ne dépend pas de x

★★★Environ 12 min

Prouve que, pour tout nombre $x$ , $(x+1)(x+4)-(x+2)(x+3)=-2$ .

Vérifie avec $x=7$ en donnant la valeur de l'expression de gauche.

Indice 1

Développe chaque produit avant de soustraire.

Indice 2

Mets le second produit entre parenthèses pour ne pas oublier de changer tous les signes.

Voir la correction pas à pas

$(x+1)(x+4)=x^2+4x+x+4=x^2+5x+4$ .
$(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$ .
Différence : $x^2+5x+4-(x^2+5x+6)=x^2+5x+4-x^2-5x-6$ .
On réduit : $4-6=-2$ . Le résultat ne contient plus $x$ , l'égalité est prouvée.
Vérification pour $x=7$ : $8\times11-9\times10=88-90=-2$ .

Quand tous les termes en $x$ disparaissent, l'expression a la même valeur pour tous les nombres.

Les questions qu'on se pose

Combien de valeurs faut-il tester pour prouver une égalité ?

Aucun nombre de tests ne suffit pour prouver qu'une égalité est vraie pour toutes les valeurs de la lettre : les tests donnent seulement une conjecture, qu'il faut distinguer d'un énoncé prouvé.¹ Pour la prouver, tu transformes un membre par étapes jusqu'à retrouver l'autre, ou les deux jusqu'à une même expression.⁴ En revanche, un seul test raté suffit pour montrer qu'elle est fausse.

Par quel membre faut-il commencer ?

Commence par le membre le plus compliqué : il contient souvent des parenthèses à développer. Tu simplifies jusqu'à obtenir l'autre membre. Si tu hésites, développe les deux membres séparément et vérifie qu'ils donnent la même expression réduite.⁴

Sources

Programme visé : Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4 · Ministère de l'Éducation nationale

Annexe 2 – Programme de mathématiques pour le cycle 4, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 12 novembre 2026.
Utiliser le calcul littéral – Objectifs, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
Attendus de fin d'année – Mathématiques 4e, Éduscol. Consulté le 12 novembre 2026.
Démontrer une égalité, Académie de Bordeaux. Consulté le 12 novembre 2026.
Égalité et Réconciliation, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.

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Exercice 1 Tester une égalité sur un nombre

Exercice 2 Un test qui réussit

Exercice 3 Trouver un contre-exemple

Exercice 4 Prouver avec la double distributivité

Exercice 5 Développer deux expressions

Exercice 6 Une identité remarquable à retrouver

Exercice 7 Prouver par factorisation

Exercice 8 Une propriété vraie pour tous les entiers

Exercice 9 Une expression qui ne dépend pas de x

Les questions qu'on se pose

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