Repérage dans un pavé droit : exercices corrigés de 4e

$B$ est à 4 cm de $A$ le long de $[AB]$, et il n'est ni décalé vers $D$, ni monté : $B(4 \; ; 0 \; ; 0)$.

$D$ est à 3 cm de $A$ le long de $[AD]$ : $D(0 \; ; 3 \; ; 0)$.

Pour atteindre $C$, on avance de 4 cm selon $[AB]$ puis de 3 cm selon $[AD]$, sans monter : $C(4 \; ; 3 \; ; 0)$.

$G$ est au-dessus de $C$ : même abscisse et même ordonnée, mais l'altitude vaut 5. On a $G(4 \; ; 3 \; ; 5)$, donc l'abscisse de $G$ est 4 cm.

$E$ est au-dessus de $A$, à 5 cm : $E(0 \; ; 0 \; ; 5)$.

$F$ est au-dessus de $B$, donc il a l'abscisse de $B$ et l'altitude 5 : $F(4 \; ; 0 \; ; 5)$.

$H$ est au-dessus de $D$ : il a l'ordonnée de $D$ et l'altitude 5 : $H(0 \; ; 3 \; ; 5)$.

L'altitude de $H$ est donc 5 cm, comme celle de tous les sommets de la face $EFGH$.

L'abscisse vaut 4 : on avance de 4 cm selon $[AB]$, c'est-à-dire jusqu'à $B$.

L'ordonnée vaut 0 : on ne bouge pas selon $[AD]$.

L'altitude vaut 5 : on monte de 5 cm selon la verticale, de $B$ jusqu'à $F$.

Le point $P$ est donc le sommet $F$.

$G$ est au-dessus de $C$, et $C(6 \; ; 4 \; ; 0)$. Donc $G(6 \; ; 4 \; ; 2)$.

L'abscisse de $M$ est la moyenne de 0 et 6 : $\dfrac{0+6}{2} = 3$.

L'ordonnée de $M$ est la moyenne de 0 et 4 : $\dfrac{0+4}{2} = 2$.

L'altitude de $M$ est la moyenne de 0 et 2 : $\dfrac{0+2}{2} = 1$.

On a donc $M(3 \; ; 2 \; ; 1)$, et son altitude est 1 cm.

L'altitude de $P$ est 0 : $P$ est dans le plan de la base $ABCD$.

Place $K$ sur $[AB]$ à 2 cm de $A$. Alors $PK = 1$ cm, et le triangle $AKP$ est rectangle en $K$.

Pythagore donne $AP^2 = 2^2 + 1^2 = 5$.

Donc $AP = \sqrt{5} \approx 2{,}236$ cm.

Dans le rectangle $ABCD$, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ : $AC^2 = 4^2 + 3^2 = 25$, donc $AC = 5$ cm.

L'arête $[CG]$ est perpendiculaire à la base $ABCD$ ; elle est donc perpendiculaire à $[AC]$, qui est dans cette base. Le triangle $ACG$ est rectangle en $C$.

Pythagore dans $ACG$ : $AG^2 = AC^2 + CG^2 = 25 + 25 = 50$.

Donc $AG = \sqrt{50} \approx 7{,}071$ cm.

$F$ est au-dessus de $B$ : $F(6 \; ; 0 \; ; 3)$. $G$ est au-dessus de $C$ : $G(6 \; ; 4 \; ; 3)$.

Le long de $[FG]$, l'abscisse reste 6 et l'altitude reste 3. Seule l'ordonnée varie, de 0 à 4.

$N$ est à 1 cm de $G$, donc son ordonnée est $4 - 1 = 3$ cm.

On a donc $N(6 \; ; 3 \; ; 3)$.

Le sommet $G$ s'obtient depuis $A$ en parcourant toute la longueur $AB$, puis toute la largeur $AD$, puis toute la hauteur $AE$.

Donc $AB = 5$ cm, $AD = 3$ cm et $AE = 2$ cm.

Le volume vaut $5 \times 3 \times 2 = 30$ cm$^3$.