Les puissances de 10 : cours de 4e

Écrire la distance Terre-Soleil en mètres demande beaucoup de chiffres. Écrire la taille d'une bactérie en mètres demande beaucoup de zéros après la virgule. Dans les deux cas, il est facile de se tromper en comptant les zéros. Les puissances de 10 règlent ce problème : elles résument une longue suite de zéros en un petit nombre, l'exposant.

Ce chapitre prolonge ce que tu connais déjà des puissances d'exposant entier. Tu vas voir comment elles s'appliquent au nombre 10, pourquoi cela marche si bien avec notre écriture décimale, et comment utiliser aussi des exposants négatifs pour les nombres très petits.

Les puissances de dix sont aussi un outil des autres sciences : on les rencontre en physique et en chimie, par exemple avec des écritures comme $10^{-5}$.⁵ Le programme de cycle 4 les présente comme un moyen commode de comparer des ordres de grandeur.¹ Les exposants négatifs arrivent de façon progressive, en fin de 4e ou en début de 3e.¹

Le carré et le cube sont des cas particuliers : ce sont les puissances d'exposant 2 et 3.⁵ Sur une calculatrice, on tape souvent le symbole « ^ » pour l'exposant ; en Python, on écrit ** à la place.⁵

Calculons les premières puissances :

• $10^1 = 10$
• $10^2 = 10 \times 10 = 100$
• $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$
• $10^4 = 10\,000$
• $10^5 = 100\,000$
• $10^6 = 1\,000\,000$

Tu remarques une régularité : chaque fois qu'on augmente l'exposant de 1, on multiplie par 10, donc on ajoute un zéro à droite.

Cette propriété vient de notre système de numération : chaque rang à gauche vaut dix fois le rang précédent. Les puissances de 10 d'exposant entier naturel s'appuient donc directement sur l'écriture décimale.¹

Un exposant 1 se comprend facilement : $10^1$ ne contient qu'un seul facteur, donc $10^1 = 10$. Plus généralement, tout nombre est égal à sa puissance d'exposant 1.⁵

L'exposant 0 est plus surprenant, car on ne peut pas écrire « zéro facteur ». On le définit par convention.

Cette convention est cohérente avec la régularité observée plus haut. En descendant dans le tableau, on divise par 10 à chaque pas : $10^3 = 1\,000$, puis $10^2 = 100$, puis $10^1 = 10$, et le pas suivant donne $10 \div 10 = 1$, c'est-à-dire $10^0$.

Pour écrire des nombres très petits, comme $0{,}001$, on utilise des exposants négatifs. L'idée est de continuer la régularité : quand l'exposant diminue de 1, on divise par 10.

$10^2 = 100,\quad 10^1 = 10,\quad 10^0 = 1,\quad 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1,\quad 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$

En mathématiques, quand un nombre possède un inverse, on définit ses puissances d'exposant négatif comme des puissances de cet inverse.⁵ Pour 10, l'inverse est $\dfrac{1}{10} = 0{,}1$.

On peut multiplier deux puissances de 10 en revenant à la définition. Les règles générales de calcul sur les puissances sont l'objet d'un chapitre ultérieur ; ici, on les découvre sur 10 en comptant les facteurs.

Les puissances de 10 permettent de situer un nombre à l'échelle de l'univers ou de l'atome. Elles fournissent une façon commode de comparer des ordres de grandeur.¹ Un ordre de grandeur est une valeur simple, souvent une puissance de 10 proche du nombre, qui donne une idée de sa taille.

Pour comparer deux nombres de la forme $10^a$ et $10^b$, il suffit de comparer les exposants : plus l'exposant est grand, plus la puissance est grande. Ainsi $10^{-2} < 10^{-1} < 10^0 < 10^3$.