Calculer une longueur avec Pythagore : cours de 4e
Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Pour calculer une longueur avec Pythagore, il faut un triangle rectangle dont on connaît deux côtés.
On repère d'abord l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, le plus long des trois.
Hypoténuse inconnue : on additionne les carrés des deux autres côtés, puis on prend la racine carrée.
Côté de l'angle droit inconnu : on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, puis on prend la racine carrée.
Termine toujours par une phrase de réponse avec l'unité, et une valeur exacte ou arrondie selon la consigne.
Pourquoi calculer une longueur avec Pythagore ?
Mesurer avec une règle est pratique, mais ce n'est pas toujours possible. Comment connaître la longueur d'une diagonale tracée dans un champ, ou la hauteur à laquelle une échelle touche un mur, sans y aller avec un mètre ? Dans de nombreuses situations, il y a un triangle rectangle caché, et le théorème de Pythagore permet alors de trouver la longueur cherchée par le calcul.
Dans ce cours, tu vas apprendre à utiliser le théorème dans les deux sens : trouver le plus grand côté, puis trouver l'un des deux autres côtés. Le programme de 4e demande justement de savoir calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres 34.
Rappel : l'égalité de Pythagore et l'hypoténuse
Triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 · L'hypoténuse BC fait face à l'angle droit en A.
Calculer l'hypoténuse
On connaît les deux côtés de l'angle droit et on cherche l'hypoténuse. L'égalité de Pythagore donne directement le carré de la longueur cherchée. Il reste à trouver le nombre positif dont le carré vaut ce résultat : c'est la racine carrée, notée x sur la calculatrice.
Calculer un côté de l'angle droit
Cette fois, on connaît l'hypoténuse et un seul des deux autres côtés. L'égalité de Pythagore s'écrit pareil, mais l'inconnue n'est plus du même côté : il faut soustraire. Le programme parle bien de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît les deux autres 4.
Démonstration · Pourquoi on soustrait
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a BC2=AB2+AC2. Si l'inconnue est AB, on retire AC2 aux deux membres de l'égalité :
BC2−AC2=AB2+AC2−AC2
ce qui donne
AB2=BC2−AC2.
On n'a donc rien de nouveau à apprendre : c'est la même égalité, réorganisée.
RepérerTrouver l'angle droit et l'hypoténuse
ÉcrirePoser l'égalité de Pythagore avec les lettres
RemplacerMettre les longueurs connues
CalculerAdditionner ou soustraire les carrés
ConclureRacine carrée, unité, phrase de réponse
Les étapes d'un calcul de longueur · La même démarche sert pour l'hypoténuse et pour un côté de l'angle droit.
Valeur exacte, valeur approchée et unités
Le programme du cycle 4 demande de savoir effectuer des calculs exacts ou approchés, à la main ou avec un outil numérique 1. Pour une longueur, cela change la façon de conclure. Il faut donc lire la consigne : « donner la valeur exacte » ou « arrondir au dixième ».
Des problèmes concrets avec un triangle rectangle caché
Dans un problème, l'énoncé ne dit presque jamais « triangle rectangle ». C'est à toi de le voir. Les documents d'accompagnement évoquent par exemple le calcul de la diagonale d'un champ rectangulaire, situation où il faut savoir si l'on attend un calcul exact ou une valeur approchée 2. Voici les situations classiques et la façon de les repérer.
Rédiger proprement une démonstration de calcul
Une bonne rédaction compte autant que le résultat. Les documents d'accompagnement conseillent d'éviter les rédactions trop longues et trop lourdes 2. Voici une trame courte qui suffit.
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer une hypoténuse
★☆☆Environ 5 min
Le triangle ABC est rectangle en A avec AB=5 cm et AC=12 cm. Calcule la longueur BC.
Indice 1
Repère l'angle droit : quel côté lui fait face ?
Indice 2
Le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.
Voir la correction pas à pas
Le triangle ABC est rectangle en A, donc BC est l'hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore : BC2=AB2+AC2.
On remplace : BC2=52+122=25+144=169.
Comme BC est positive, BC=169=13 cm.
L'hypoténuse BC mesure 13 cm. Elle est bien plus longue que 5 cm et 12 cm, le résultat est cohérent.
Exercice 2 Calculer un côté de l'angle droit
★★☆Environ 7 min
Le triangle EFG est rectangle en E. On donne FG=17 cm et EF=8 cm. Calcule la longueur EG.
Indice 1
Quelle longueur est l'hypoténuse ici ?
Indice 2
Il faut soustraire : carré de l'hypoténuse moins carré du côté connu.
Voir la correction pas à pas
Le triangle EFG est rectangle en E, donc l'hypoténuse est FG.
D'après le théorème de Pythagore : FG2=EF2+EG2.
On isole : EG2=FG2−EF2=172−82=289−64=225.
Comme EG est positive, EG=225=15 cm.
Le côté EG mesure 15 cm. Il est plus court que l'hypoténuse de 17 cm, ce qui est cohérent.
Exercice 3 L'échelle contre le mur
★★☆Environ 10 min
Une échelle de 4 m est posée contre un mur vertical sur un sol horizontal. Son pied est à 1,2 m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? Donne la valeur arrondie au centimètre près.
Indice 1
Fais un schéma : le mur et le sol sont perpendiculaires.
Indice 2
L'échelle est l'hypoténuse du triangle rectangle.
Voir la correction pas à pas
Le mur est vertical et le sol horizontal, donc le triangle formé par le mur, le sol et l'échelle est rectangle au pied du mur.
L'échelle (4 m) est l'hypoténuse, la distance au mur (1,2 m) est un côté de l'angle droit.
On pose h la hauteur : h2=42−1,22=16−1,44=14,56.
Donc h=14,56≈3,82 m.
L'échelle touche le mur à environ 3,82 m de hauteur, soit 382 cm. La valeur est bien inférieure à la longueur de l'échelle.
Exercice 4 Diagonale d'un carré
★★★Environ 10 min
Un carré PQRS a des côtés de 6 cm. Calcule la longueur de la diagonale PR : donne d'abord la valeur exacte, puis l'arrondi au dixième de centimètre.
Indice 1
Les angles d'un carré sont droits : cherche un triangle rectangle contenant PR.
Indice 2
Les deux côtés de l'angle droit mesurent 6 cm.
Voir la correction pas à pas
Le carré PQRS a un angle droit en Q : le triangle PQR est rectangle en Q, et PR est son hypoténuse.
D'après le théorème de Pythagore : PR2=PQ2+QR2=62+62.
On calcule : PR2=36+36=72.
La valeur exacte est PR=72 cm.
À la calculatrice, 72≈8,485, donc PR≈8,5 cm au dixième près.
La diagonale mesure 72 cm, soit environ 8,5 cm. Elle est plus courte que 12 cm (deux côtés mis bout à bout), ce qui est cohérent.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
L'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est BC et son carré est la somme des carrés des deux autres côtés. Les égalités avec AB2 ou AC2 seuls placent un côté de l'angle droit comme hypoténuse. L'égalité BC=AB+AC oublie les carrés : elle est toujours fausse dans un triangle rectangle.
On calcule 92+122=81+144=225, et 225=15. Le résultat 21 vient d'une addition directe des longueurs sans carrés. Le résultat 3 vient d'une soustraction faite par erreur, alors que l'hypoténuse est inconnue.
L'hypoténuse est connue : on soustrait. 132−52=169−25=144, et 144=12. Le résultat 194 vient d'une addition des carrés, ce qui donnerait un côté plus long que l'hypoténuse : impossible. Le résultat 8 vient de la soustraction des longueurs, sans carrés.
On a 32+52=9+25=34, donc l'hypoténuse vaut 34≈5,83 cm. Le nombre 34 est un carré, pas une longueur : il faut penser à prendre la racine carrée.
C'est faux : on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse. L'addition donnerait une longueur supérieure à l'hypoténuse, ce qui est impossible pour un côté de l'angle droit.
C'est vrai : son carré est la somme des deux autres carrés, donc il est plus grand que chacun d'eux. Penser que l'hypoténuse est « celle du bas » est la confusion tentante : sa position sur le dessin n'a aucune importance.
Les deux longueurs doivent être dans la même unité : 150 cm et 80 cm, par exemple. Calculer 1,52+802 mélange des mètres et des centimètres et donne un nombre sans signification. Additionner les longueurs avant de les mettre au carré ne suit pas l'égalité de Pythagore.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois additionner ou soustraire les carrés ?
Regarde quelle longueur est inconnue. Si c'est l'hypoténuse (le côté en face de l'angle droit), tu additionnes les carrés des deux autres côtés. Si l'inconnue est un côté de l'angle droit, tu soustrais : carré de l'hypoténuse moins carré du côté connu. Teste ensuite ton résultat : l'hypoténuse doit rester le plus grand côté.
Faut-il toujours donner une valeur arrondie ?
Non. Lis la consigne. Si on demande une valeur exacte, on garde la racine carrée, par exemple 34 cm. Si on demande un arrondi, on donne une valeur approchée avec la précision indiquée, par exemple 5,8 cm au dixième près. Le programme prévoit les deux types de calculs 1.
Peut-on utiliser le théorème de Pythagore dans n'importe quel triangle ?
Non, seulement dans un triangle rectangle. L'énoncé doit dire qu'il a un angle droit, ou la figure doit le coder. Un angle qui semble droit sur le dessin ne suffit pas comme preuve.
Pourquoi la racine carrée est-elle toujours positive dans ces calculs ?
Parce qu'une longueur est un nombre positif. Quand tu écris BC2=25, il existe deux nombres de carré 25 (5 et −5), mais seul 5 peut être une longueur. On écrit donc BC=25=5 cm.
Que faire si l'énoncé n'indique pas de triangle rectangle ?
Cherche un angle droit caché : coin d'un rectangle ou d'un carré, mur et sol, hauteur d'un triangle. Construis le triangle rectangle qui contient la longueur cherchée, puis rédige comme d'habitude. Si tu ne peux pas justifier l'angle droit, tu ne peux pas utiliser le théorème.