Calculer une longueur avec Pythagore : exercices de 4e

Publié le 12 novembre 2026 · Mis à jour le 12 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, repère d'abord l'angle droit et l'hypoténuse.
Hypoténuse inconnue : tu additionnes les carrés des deux autres côtés, puis tu prends la racine carrée.
Côté de l'angle droit inconnu : tu soustrais le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse.
Termine toujours par la racine carrée, l'unité et un contrôle : l'hypoténuse est le plus grand côté.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices t'entraînent à calculer une longueur dans un triangle rectangle. Le programme de 4e demande de savoir écrire l'égalité de Pythagore dans un triangle rectangle ¹ et de calculer la longueur d'un côté quand on connaît les deux autres ⁴. Les énoncés vont du plus direct au plus réfléchi : cherche d'abord seul(e), regarde les indices si tu bloques, puis compare avec la correction étape par étape.

Les exercices

Exercice 1 Hypoténuse, premier calcul

★☆☆Environ 4 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calcule la longueur $BC$ .

Indice 1

Où est l'angle droit ? Le côté opposé est l'hypoténuse.

Indice 2

Tu cherches l'hypoténuse : additionne les carrés des deux autres côtés.

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle en $A$ , donc l'hypoténuse est $[BC]$ .
D'après l'égalité de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
On remplace : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ cm².
On prend la racine carrée : $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.

$BC = 10$ cm. Contrôle : $10$ est bien plus grand que $6$ et que $8$ .

Exercice 2 Hypoténuse avec 5 et 12

★☆☆Environ 4 min

Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$ , avec $DE = 5$ cm et $EF = 12$ cm. Calcule $DF$ .

Indice 1

Repère l'angle droit pour trouver l'hypoténuse.

Indice 2

Écris $DF^2 = \dots$ puis remplace.

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle en $E$ : l'hypoténuse est $[DF]$ .
Égalité de Pythagore : $DF^2 = DE^2 + EF^2$ .
On remplace : $DF^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ cm².
Donc $DF = \sqrt{169} = 13$ cm.

$DF = 13$ cm. Le résultat dépasse bien chacun des deux autres côtés.

Exercice 3 Un côté de l'angle droit

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $GHI$ est rectangle en $H$ . On connaît $GI = 17$ cm et $GH = 8$ cm. Calcule $HI$ .

Indice 1

Quel côté est l'hypoténuse ? C'est $[GI]$ , car il est en face de l'angle droit $H$ .

Indice 2

Cette fois, l'inconnue n'est pas l'hypoténuse : il faut soustraire.

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle en $H$ : l'hypoténuse est $[GI]$ .
Égalité de Pythagore : $GI^2 = GH^2 + HI^2$ .
On isole l'inconnue : $HI^2 = GI^2 - GH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$ cm².
Donc $HI = \sqrt{225} = 15$ cm.

$HI = 15$ cm. Contrôle : $15 < 17$ , un côté de l'angle droit est plus court que l'hypoténuse.

Exercice 4 Un résultat qui n'est pas rond

★★☆Environ 6 min

Le triangle $JKL$ est rectangle en $J$ , avec $JK = 4$ cm et $JL = 7$ cm. Donne la valeur exacte de $KL$ , puis son arrondi au centième de centimètre.

Indice 1

Hypoténuse inconnue : on additionne les carrés.

Indice 2

$65$ n'est pas un carré parfait : garde d'abord $\sqrt{65}$ , puis utilise la calculatrice.

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle en $J$ : l'hypoténuse est $[KL]$ .
Égalité de Pythagore : $KL^2 = JK^2 + JL^2 = 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65$ cm².
Valeur exacte : $KL = \sqrt{65}$ cm.
À la calculatrice : $\sqrt{65} \approx 8{,}06$ cm au centième près.

$KL = \sqrt{65} \approx 8{,}06$ cm. Vérification : $8{,}06$ est plus grand que $7$ , le plus long des deux autres côtés, et plus petit que $4+7=11$ .

Exercice 5 La diagonale du champ

★★☆Environ 6 min

Un champ rectangulaire mesure $60$ m de largeur et $80$ m de longueur. Un chemin droit relie deux coins opposés. Quelle est la longueur de ce chemin ? Le calcul de la diagonale d'un champ rectangulaire est une situation typique du programme ².

Indice 1

Un rectangle a quatre angles droits : la diagonale coupe le rectangle en deux triangles rectangles.

Indice 2

La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle dont les côtés de l'angle droit valent $60$ m et $80$ m.

Voir la correction pas à pas

On nomme le rectangle $ABCD$ avec $AB = 80$ m et $BC = 60$ m. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ .
Le chemin est la diagonale $[AC]$ , hypoténuse de ce triangle.
Égalité de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 80^2 + 60^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000$ m².
Donc $AC = \sqrt{10\,000} = 100$ m.

Le chemin mesure $100$ m. C'est moins que faire le tour par les deux côtés ( $60 + 80 = 140$ m) : le chemin droit est bien plus court.

Exercice 6 L'échelle contre le mur

★★☆Environ 7 min

Une échelle de $5$ m est posée contre un mur vertical sur un sol horizontal. Son pied est à $1{,}4$ m du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ?

Indice 1

Le mur et le sol forment un angle droit. Fais un schéma du triangle.

Indice 2

L'échelle est l'hypoténuse : la hauteur cherchée est un côté de l'angle droit.

Voir la correction pas à pas

On note $M$ le pied du mur, $P$ le pied de l'échelle et $S$ le sommet. Le triangle $MPS$ est rectangle en $M$ .
L'échelle $[PS]$ est l'hypoténuse : $PS^2 = PM^2 + MS^2$ .
On isole : $MS^2 = PS^2 - PM^2 = 5^2 - 1{,}4^2 = 25 - 1{,}96 = 23{,}04$ m².
Donc $MS = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ m.

L'échelle touche le mur à $4{,}8$ m du sol. La hauteur est inférieure à la longueur de l'échelle ( $5$ m), ce qui est cohérent.

Exercice 7 Le côté oblique d'un trapèze

★★★Environ 9 min

Un trapèze rectangle $ABCD$ a ses bases $[AB]$ et $[DC]$ parallèles, avec $AB = 6$ cm et $DC = 11$ cm. Le côté $[AD]$ est perpendiculaire aux deux bases et mesure $12$ cm. Calcule la longueur du côté oblique $[BC]$ .

Indice 1

Trace la hauteur issue de $B$ : elle coupe $[DC]$ en un point $H$ et crée un triangle rectangle.

Indice 2

Dans ce triangle, un côté mesure $12$ cm. L'autre vaut $DC - AB$ .

Voir la correction pas à pas

Soit $H$ le pied de la perpendiculaire à $(DC)$ passant par $B$ . Le quadrilatère $ABHD$ a trois angles droits : c'est un rectangle.
Donc $BH = AD = 12$ cm et $DH = AB = 6$ cm.
On en déduit $HC = DC - DH = 11 - 6 = 5$ cm.
Le triangle $BHC$ est rectangle en $H$ : $BC^2 = BH^2 + HC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$ cm².
Donc $BC = \sqrt{169} = 13$ cm.

$BC = 13$ cm. Ici, il a fallu construire le triangle rectangle avant de calculer : c'est souvent la vraie difficulté.

Exercice 8 Aire d'un triangle isocèle

★★★Environ 10 min

Le triangle $PQR$ est isocèle en $P$ avec $PQ = PR = 10$ cm et $QR = 12$ cm. Calcule son aire. On rappelle que l'aire d'un triangle se calcule à partir d'un côté et de la hauteur correspondante ⁴.

Indice 1

Trace la hauteur issue de $P$ : dans un triangle isocèle, elle coupe la base $[QR]$ en son milieu $M$ .

Indice 2

Calcule $PM$ avec Pythagore dans le triangle $PMQ$ , puis utilise « base × hauteur ÷ 2 ».

Voir la correction pas à pas

Soit $M$ le milieu de $[QR]$ . La hauteur $[PM]$ est perpendiculaire à $[QR]$ , donc $PMQ$ est rectangle en $M$ , avec $QM = 12 \div 2 = 6$ cm.
Égalité de Pythagore : $PQ^2 = PM^2 + QM^2$ , donc $PM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ cm².
On obtient $PM = \sqrt{64} = 8$ cm.
Aire de $PQR$ : $\dfrac{QR \times PM}{2} = \dfrac{12 \times 8}{2} = 48$ cm².

L'aire vaut $48$ cm². Attention à l'unité : ce n'est plus une longueur mais une aire, donc des cm².

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut additionner ou soustraire les carrés ?

Regarde quel côté est inconnu. Si c'est l'hypoténuse (en face de l'angle droit), tu additionnes les carrés des deux autres côtés. Si l'hypoténuse est connue et que tu cherches un côté de l'angle droit, tu soustrais le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse. Un bon contrôle : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté du triangle.

Dois-je donner une valeur exacte ou une valeur approchée ?

Cela dépend de la consigne. Sans précision, écris la valeur exacte, par exemple $\sqrt{65}$ cm, ce qui évite toute erreur d'arrondi. Si l'énoncé demande un arrondi (« au dixième », « au centième »), utilise la calculatrice à la fin seulement, jamais au milieu du calcul. Le programme parle à la fois de calculs exacts et de calculs approchés ¹ : c'est la consigne qui te dit lequel donner.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 · education.gouv.fr

Programme de mathématiques pour le cycle 4, education.gouv.fr. Consulté le 12 novembre 2026.
MATHÉMATIQUES Espace et géométrie – Informer et accompagner, eduscol.education.fr. Consulté le 12 novembre 2026.
4e Mathématiques – ATTENDUS de fin d'année, eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 12 novembre 2026.
Mathématiques – Exemples pour la mise en œuvre des programmes Cycle 4, eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 12 novembre 2026.
Longueur, Wikipédia. Consulté le 12 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Hypoténuse, premier calcul

Exercice 2 Hypoténuse avec 5 et 12

Exercice 3 Un côté de l'angle droit

Exercice 4 Un résultat qui n'est pas rond

Exercice 5 La diagonale du champ

Exercice 6 L'échelle contre le mur

Exercice 7 Le côté oblique d'un trapèze

Exercice 8 Aire d'un triangle isocèle

Les questions qu'on se pose

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