Le contre-exemple : cours de mathématiques de 5e

Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Un contre-exemple est un cas particulier qui respecte les conditions d'une affirmation mais en contredit la conclusion.⁶
Une affirmation du type « pour tout… » est fausse dès qu'on trouve un seul contre-exemple.⁶
Une affirmation générale se prouve par une démonstration générale ; des exemples qui marchent ne suffisent pas.³
En mathématiques, une exception détruit la règle, contrairement à l'expression de la vie courante.⁶
Pour en trouver un : teste des petites valeurs, puis des cas spéciaux (0, nombres négatifs, décimaux, valeurs égales).
Rédige toujours : l'affirmation, le cas choisi, le calcul qui montre que les conditions sont remplies et que la conclusion est fausse.

À quoi sert un contre-exemple ?

Tu as déjà entendu des phrases comme « les multiplications agrandissent toujours les nombres » ou « un nombre pair est toujours multiple de 4 ». Elles sonnent bien, mais sont-elles vraies ? En mathématiques, on ne se contente pas d'avoir l'impression qu'une phrase est juste : on cherche à savoir si elle l'est vraiment, dans tous les cas.

Dans ce cours, tu vas apprendre un outil très simple et très puissant pour démolir une affirmation fausse : le contre-exemple. Il te servira en arithmétique, en calcul et en géométrie, et il prépare le travail de démonstration que tu as commencé à faire dans le chapitre « Démontrer en géométrie ».

Les affirmations « pour tout » et pourquoi un seul cas suffit

Beaucoup d'affirmations mathématiques prétendent être vraies dans tous les cas. Par exemple : « pour tout nombre entier, le double est plus grand que le nombre » ou « tout multiple de 3 est un multiple de 6 ». On les appelle des affirmations universelles.

Imagine une telle affirmation comme une promesse faite à des millions de nombres à la fois. Pour que la promesse soit tenue, il faut qu'elle marche pour chacun d'eux. Pour qu'elle soit brisée, il suffit qu'un seul nombre fasse exception.

Remarque importante sur la logique : le contre-exemple doit remplir deux conditions à la fois.

Il respecte les hypothèses de l'affirmation (il est bien dans le cas dont on parle).
Il ne respecte pas la conclusion.

Si l'une des deux manque, ce n'est pas un contre-exemple.⁶ Par exemple, pour l'affirmation « tout multiple de 3 est multiple de 6 », le nombre 7 ne prouve rien : ce n'est même pas un multiple de 3, donc il ne rentre pas dans le cas étudié.

Pourquoi des exemples qui marchent ne prouvent rien

Le contre-exemple a un « frère » dont il faut absolument le distinguer : l'exemple qui confirme. Si tu testes une affirmation sur 5, 10 ou 100 nombres et qu'elle marche à chaque fois, tu n'as pas prouvé qu'elle est vraie. Tu as seulement trouvé un indice. Elle reste une conjecture.

Pour la transformer en propriété sûre, il faut une démonstration générale.³ En revanche, une seule vérification qui échoue, et la conjecture tombe.

ExempleUne affirmation qui résiste longtemps

Considère l'affirmation : « pour tout entier naturel $n$ , le nombre $n^2 - n + 11$ a exactement 2 diviseurs. »⁵

Testons les premières valeurs :

$n$	$n^2-n+11$
1	11
2	13
3	17
4	23
5	31
6	41
7	53

Chaque résultat n'est divisible que par 1 et par lui-même. On est tenté de croire l'affirmation vraie. Pourtant, pour $n = 11$ , on obtient $11^2 - 11 + 11 = 121$ , qui est divisible par 11. L'entier 11 est un contre-exemple à l'affirmation.⁵

La leçon : même si l'affirmation marche pour toutes les valeurs de 0 à 10, ces essais réussis n'ont rien garanti. Le cas $n = 11$ a suffi à tout faire s'écrouler.

Comment chercher un contre-exemple

Trouver un contre-exemple demande de l'esprit de recherche, mais il existe des réflexes efficaces. Tu les utiliseras souvent dès que tu rencontreras une affirmation qui te semble suspecte.

MéthodeMéthode : chercher un contre-exemple

Repère les hypothèses et la conclusion de l'affirmation. Écris-les séparément.
Teste de petites valeurs : 1, 2, 3, 4… Les calculs sont rapides et un contre-exemple se cache souvent parmi elles.
Teste des valeurs particulières que l'on oublie : 0, les nombres négatifs, les nombres décimaux, deux nombres égaux, des nombres très différents l'un de l'autre.
Pour une conclusion de type « toujours plus grand », essaie de trouver un cas où le résultat est plus petit ou égal.
Dès que tu penses en avoir un, vérifie que les hypothèses sont bien respectées, puis que la conclusion est bien fausse.
Si tu n'en trouves pas après plusieurs essais sérieux, ne conclus pas que l'affirmation est vraie : tu peux seulement dire qu'elle est peut-être vraie et qu'il faudrait la démontrer.

Rédiger un contre-exemple proprement

Trouver le cas est la moitié du travail. L'autre moitié consiste à l'écrire de façon que la personne qui te lit n'ait aucun doute. Une bonne rédaction suit presque toujours le même plan.

Contre-exemple, conjecture et démonstration

En mathématiques, on avance souvent en deux temps. D'abord on observe plusieurs cas et on formule une conjecture : « il me semble que… ». Ensuite, il faut trancher. Soit on invalide la conjecture en produisant un contre-exemple, soit on prouve qu'elle est vraie.⁴

Le contre-exemple est donc un excellent premier réflexe avant de se lancer dans une démonstration. Si tu essaies de démontrer une affirmation fausse, tu perdras du temps : tu ne trouveras jamais de démonstration, puisqu'il n'y en a pas. La découverte d'un contre-exemple permet d'arrêter cette recherche.⁶

En géométrie, la démarche est la même. Face à une conjecture lue sur une figure, tu peux construire une autre figure qui respecte les hypothèses mais où la conclusion ne tient plus. Si tu y parviens, la propriété annoncée est fausse. Si tu n'y parviens pas, tu dois te lancer dans une démonstration, avec le raisonnement que tu as appris dans le chapitre précédent.

Exercices corrigés

Exercice 1 Le double d'un nombre

★☆☆Environ 5 min

Léa affirme : « le double d'un nombre est toujours plus grand que ce nombre. » Pour la réfuter, tu choisis le nombre $-3$ .

Calcule la différence « double du nombre moins le nombre » pour $-3$ , puis explique ce que son signe te montre.

Indice 1

Le double de $-3$ est $(-3) + (-3)$ .

Indice 2

Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé.

Voir la correction pas à pas

Le double de $-3$ est $(-3) + (-3) = -6$ .
On calcule la différence : $-6 - (-3) = -6 + 3 = -3$ .
La différence est négative : le double ( $-6$ ) est donc plus petit que le nombre ( $-3$ ).
Le nombre $-3$ respecte l'hypothèse (c'est un nombre) et contredit la conclusion : c'est un contre-exemple.

L'affirmation de Léa est fausse : $-3$ est un contre-exemple. Un seul cas a suffi.

Exercice 2 Une affirmation sur les diviseurs

★★☆Environ 8 min

On affirme : « pour tout entier naturel $n$ , le nombre $n^2 - n + 11$ a exactement 2 diviseurs. »

Calcule la valeur de l'expression pour $n = 11$ .
Écris tous les diviseurs de ce résultat et donne leur nombre.
Conclus.

Indice 1

Pour $n = 11$ , $n^2 - n = 121 - 11 = 110$ .

Indice 2

Un nombre $a$ est divisible par 11 s'il s'écrit $11 \times b$ avec $b$ entier.

Voir la correction pas à pas

On calcule : $11^2 - 11 + 11 = 121 - 11 + 11 = 121$ .
On cherche les diviseurs de 121 : 1 et 121 conviennent. Comme $121 = 11 \times 11$ , 11 convient aussi.
Aucun autre entier ne convient : 2, 3, 5, 7 ne divisent pas 121 (les restes ne sont jamais nuls). Les diviseurs sont 1, 11 et 121.
Il y en a 3, et non 2 : la conclusion de l'affirmation est fausse pour $n = 11$ .

L'entier $n = 11$ est un contre-exemple : l'affirmation est fausse, même si elle marchait pour toutes les valeurs de $n$ de 0 à 10.⁵

Exercice 3 Aire et périmètre

★★☆Environ 8 min

Emma affirme : « si un rectangle a une aire plus grande qu'un autre, il a aussi un périmètre plus grand. »

Tu compares le rectangle A (1 cm sur 10 cm) et le rectangle B (4 cm sur 4 cm).

Calcule les deux aires.
Calcule les deux périmètres.
Donne l'écart entre le périmètre de A et celui de B, puis conclus.

Indice 1

Le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et de largeur $\ell$ est $2 \times (L + \ell)$ .

Indice 2

Compare d'abord les aires : quel rectangle a la plus grande ?

Voir la correction pas à pas

Aire de A : $1 \times 10 = 10$ cm². Aire de B : $4 \times 4 = 16$ cm². B a la plus grande aire.
Périmètre de A : $2 \times (1 + 10) = 22$ cm. Périmètre de B : $2 \times (4 + 4) = 16$ cm.
Écart : $22 - 16 = 6$ cm. A a le plus grand périmètre de 6 cm.
B a la plus grande aire mais le plus petit périmètre : c'est l'inverse de ce qu'Emma annonce.

Les rectangles A et B forment un contre-exemple. L'affirmation d'Emma est fausse : aire et périmètre ne vont pas toujours dans le même sens.

Les questions qu'on se pose

Combien de contre-exemples faut-il donner ?

Un seul suffit. Il montre que l'affirmation universelle est fausse.⁶ Si tu en donnes deux, ce n'est pas une erreur, mais cela n'ajoute rien à la preuve. Ce qui compte, c'est que ton contre-exemple soit bien vérifié par un calcul.

Si je n'arrive pas à trouver de contre-exemple, est-ce que l'affirmation est vraie ?

Non. Ne pas en trouver ne prouve rien : le contre-exemple peut se cacher plus loin, comme $n = 11$ dans l'exemple de l'expression $n^2-n+11$ .⁵ Tu peux alors dire que l'affirmation est peut-être vraie, et qu'il faut essayer de la démontrer pour en être sûr.³

Peut-on prouver qu'une affirmation est vraie avec un exemple ?

Non, pas une affirmation qui parle de tous les cas. Un exemple qui marche est un indice. Pour valider une affirmation universelle, on utilise une démonstration générale.³ En revanche, un exemple suffit pour prouver une affirmation du type « il existe un nombre tel que… » : il suffit de le montrer.

Comment savoir quelles valeurs tester en premier ?

Commence par de petites valeurs, car les calculs sont rapides. Pense ensuite aux cas que l'on oublie : 0, les nombres négatifs, les décimaux, deux nombres égaux. Pour une affirmation du genre « c'est toujours plus grand », cherche un cas où le résultat est plus petit ou égal. Pour une affirmation sur les multiples, parcours les premières tables de multiplication.

Quel rapport entre le contre-exemple et la démonstration en géométrie ?

Face à une conjecture, on peut soit la rejeter par un contre-exemple, soit la prouver.⁴ Chercher d'abord un contre-exemple évite de perdre du temps sur une démonstration d'une affirmation fausse : si tu en trouves un, la recherche de démonstration n'a plus de raison d'être.⁶

Sources

Programme visé : Programmes d'enseignement de français et de mathématiques du cycle des approfondissements (cycle 4) · Ministère de l'Éducation nationale

Programmes d'enseignement de français et de mathématiques du cycle des approfondissements (cycle 4), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 10 novembre 2026.
Intentions majeures - Mathématiques cycle 4, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
Raisonnement et démonstration en mathématiques, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
Compétences travaillées en mathématiques, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
Nombres et calculs - Informer et accompagner, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
Contre-exemple, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Le contre-exemple : cours de mathématiques de 5e

L'essentiel

À quoi sert un contre-exemple ?

Les affirmations « pour tout » et pourquoi un seul cas suffit

Pourquoi des exemples qui marchent ne prouvent rien

Comment chercher un contre-exemple

Rédiger un contre-exemple proprement

Contre-exemple, conjecture et démonstration

Exercices corrigés

Exercice 1 Le double d'un nombre

Exercice 2 Une affirmation sur les diviseurs

Exercice 3 Aire et périmètre

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur