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Mathématiques · 5e

Le contre-exemple : exercices corrigés de 5e

Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Une affirmation qui commence par « pour tout » ou « tous les » est fausse dès qu'un seul cas la contredit : ce cas s'appelle un contre-exemple 6.
  • Un contre-exemple vérifie les conditions de départ de l'énoncé, mais pas sa conclusion 6.
  • Un contre-exemple suffit à invalider une conjecture 4 ; plusieurs exemples qui marchent ne prouvent rien.
  • Pour rédiger : cite la phrase testée, donne le cas choisi, calcule, constate que la conclusion échoue, conclus que l'énoncé est faux.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices t'entraînent à une idée simple et très utile en mathématiques : montrer qu'une affirmation est fausse avec un seul cas bien choisi. Cherche chaque exercice sur ton cahier avant d'ouvrir les indices, puis compare ta rédaction avec la correction, étape par étape.

Les exercices

Exercice 1 Les nombres pairs et les multiples de 4

★☆☆Environ 5 min

Emma affirme : « Tous les nombres pairs sont des multiples de 4. »

  1. Teste l'affirmation avec 2, 4, 6 et 8.
  2. Donne le plus petit entier naturel non nul qui est un contre-exemple.

Quel est ce nombre ?

Indice 1

Un nombre est multiple de 4 s'il apparaît dans la liste 4, 8, 12, 16…

Indice 2

Parcours les nombres pairs dans l'ordre et arrête-toi au premier qui n'est pas dans la liste de 4.

Voir la correction pas à pas

  1. On part des nombres pairs en commençant par le plus petit non nul : 2, 4, 6, 8.

  2. Pour 2 : il n'est pas dans la liste des multiples de 4 (4, 8, 12…), donc 2 n'est pas multiple de 4.

  3. Le nombre 2 est pair, il respecte la condition de départ, mais la conclusion « multiple de 4 » est fausse.

  4. Pour 4 et 8, la conclusion est vraie ; pour 6, elle est fausse aussi. Ces cas n'ajoutent rien : un seul suffit.

  5. Le plus petit contre-exemple non nul est donc 2.

L'affirmation d'Emma est fausse, car 2 est pair sans être multiple de 4. Les cas 4 et 8 qui marchent ne la rendent pas vraie 6.

Exercice 2 Les multiples de 3 sont-ils impairs ?

★☆☆Environ 5 min

Noé affirme : « Tous les multiples de 3 sont des nombres impairs. » Il a vérifié avec 3, 9 et 15 et il en conclut que c'est démontré.

  1. Cherche un multiple de 3 pair.
  2. Donne le plus petit multiple de 3 non nul qui contredit l'affirmation.

Quel est ce nombre ?

Indice 1

Écris les multiples de 3 : 3, 6, 9, 12…

Indice 2

Repère le premier qui est pair.

Voir la correction pas à pas

  1. On écrit les multiples de 3 dans l'ordre : 3, 6, 9, 12, 15…

  2. Le premier multiple non nul est 3 : il est impair, il ne contredit rien.

  3. Le suivant est 2×3=62 \times 3 = 6 : il est multiple de 3 et il est pair.

  4. Pour 6, la condition de départ (multiple de 3) est respectée, mais la conclusion (impair) est fausse : c'est un contre-exemple.

  5. Le plus petit multiple non nul qui convient est donc 6.

L'affirmation de Noé est fausse. Ses trois vérifications (3, 9, 15) ne prouvaient rien : un seul cas contraire, ici 6, suffit à la réfuter 6.

Exercice 3 Un triangle avec deux côtés égaux

★★☆Environ 8 min

Lina affirme : « Si un triangle a deux côtés de même longueur, alors ses trois côtés sont de même longueur. »

On construit le triangle ABCABC avec AB=5AB = 5 cm, AC=5AC = 5 cm et BC=8BC = 8 cm.

  1. Vérifie que ce triangle respecte la condition de départ.
  2. Explique pourquoi il contredit la conclusion.
  3. Calcule son périmètre en centimètres.
Indice 1

La condition de départ porte sur deux côtés seulement. La conclusion porte sur les trois.

Indice 2

Le périmètre est la somme des trois côtés.

Voir la correction pas à pas

  1. Condition de départ : AB=AC=5AB = AC = 5 cm, donc deux côtés ont la même longueur. Elle est respectée.

  2. Conclusion à tester : les trois côtés seraient égaux. Or BC=8BC = 8 cm est différent de 5 cm. Elle est fausse.

  3. Le triangle existe bien : le plus grand côté mesure 8 cm et 5+5=105 + 5 = 10, qui est plus grand que 8, donc on peut le construire avec une règle et un compas.

  4. Périmètre : 5+5+8=185 + 5 + 8 = 18 cm.

Le triangle ABCABC est un contre-exemple : il a deux côtés égaux sans avoir trois côtés égaux. L'affirmation de Lina est fausse, et son périmètre vaut 18 cm 6.

Exercice 4 La somme est-elle toujours plus grande ?

★★☆Environ 8 min

Hugo affirme : « La somme de deux nombres relatifs est toujours plus grande que chacun des deux nombres. » Il a testé 3+43 + 4 et 10+110 + 1.

  1. Calcule 3+43 + 4 et 10+110 + 1 : l'affirmation y est-elle vraie ?
  2. Essaie avec a=5a = 5 et b=−2b = -2.
  3. Quelle est la valeur de a+ba + b ?
Indice 1

Pense aux nombres négatifs : ajouter un nombre négatif fait diminuer.

Indice 2

Compare la somme à aa, le plus grand des deux nombres.

Voir la correction pas à pas

  1. Pour 3+4=73 + 4 = 7 : 7 est plus grand que 3 et que 4. L'affirmation est vraie ici.

  2. Pour 10+1=1110 + 1 = 11 : 11 est plus grand que 10 et que 1. Vraie ici aussi, mais cela ne prouve rien.

  3. On prend a=5a = 5 et b=−2b = -2 : a+b=5+(−2)=3a + b = 5 + (-2) = 3.

  4. On compare : 3 est plus petit que 5. La somme n'est donc pas plus grande que chacun des deux nombres.

  5. Le couple (5 ; −2)(5\,;\,-2) respecte la condition de départ (deux nombres relatifs) mais la conclusion est fausse.

Le couple (5 ; −2)(5\,;\,-2) est un contre-exemple. Hugo avait testé uniquement des nombres positifs : l'affirmation est fausse 6.

Exercice 5 Multiple de 4 et de 6, multiple de 24 ?

★★☆Environ 10 min

Sofia affirme : « Si un nombre est multiple de 4 et multiple de 6, alors il est multiple de 24. »

Trouve le plus petit entier naturel non nul qui est à la fois multiple de 4 et de 6. Vérifie ensuite si c'est un contre-exemple.

Quel est ce nombre ?

Indice 1

Écris la liste des multiples de 4, puis celle des multiples de 6.

Indice 2

Cherche le premier nombre qui apparaît dans les deux listes.

Voir la correction pas à pas

  1. Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24…

  2. Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24…

  3. Le premier nombre commun est 12 : il est multiple de 4 (4×34 \times 3) et de 6 (6×26 \times 2).

  4. Est-il multiple de 24 ? Non, car 12 est plus petit que 24 et non nul : aucun multiple non nul de 24 n'est inférieur à 24.

  5. Le nombre 12 respecte la condition de départ mais pas la conclusion : c'est un contre-exemple.

L'affirmation de Sofia est fausse. Le nombre 12 la contredit, alors que 24 la vérifie : un cas qui marche n'empêche pas un autre cas de la réfuter 6.

Exercice 6 Une expression qui semble toujours donner un nombre premier

★★★Environ 12 min

Samir étudie l'expression n2−n+11n^2 - n + 11, où nn est un entier naturel. Il affirme : « Le résultat a toujours exactement deux diviseurs. »

  1. Calcule la valeur pour n=1n = 1, 22, 33, 44 et 55.
  2. Calcule la valeur pour n=11n = 11.
  3. Liste les diviseurs de ce résultat. L'affirmation est-elle vraie ?

Quelle est la valeur obtenue pour n=11n = 11 ?

Indice 1

Pour n=11n = 11, remplace chaque nn par 11 sans te tromper dans l'ordre des opérations.

Indice 2

Un nombre qui s'écrit 11×1111 \times 11 a au moins trois diviseurs : 1, 11 et lui-même.

Voir la correction pas à pas

  1. Pour n=1n = 1 : 1−1+11=111 - 1 + 11 = 11. Pour n=2n = 2 : 4−2+11=134 - 2 + 11 = 13. Pour n=3n = 3 : 9−3+11=179 - 3 + 11 = 17.

  2. Pour n=4n = 4 : 16−4+11=2316 - 4 + 11 = 23. Pour n=5n = 5 : 25−5+11=3125 - 5 + 11 = 31. Chacun de ces nombres n'a que deux diviseurs : l'affirmation semble vraie.

  3. Pour n=11n = 11 : 112−11+11=121−11+11=12111^2 - 11 + 11 = 121 - 11 + 11 = 121.

  4. Or 121=11×11121 = 11 \times 11. Ses diviseurs sont 1, 11 et 121.

  5. Le nombre 121 a trois diviseurs, pas deux : la conclusion est fausse pour n=11n = 11.

Cinq vérifications réussies n'ont rien prouvé : n=11n = 11 est un contre-exemple, et l'affirmation de Samir est fausse. Cet exemple classique figure parmi les activités proposées aux élèves du cycle 4 5.

Exercice 7 Rédiger une réponse complète

★★★Environ 12 min

Léa écrit dans son cahier : « J'ai testé quatre cas, et à chaque fois l'affirmation était vraie. Donc l'affirmation est prouvée. De plus, j'ai trouvé un cas où elle est fausse, mais c'est une exception, donc la règle reste vraie. »

  1. Repère les deux erreurs de raisonnement dans le texte de Léa.
  2. Réécris un raisonnement correct de deux ou trois phrases, avec l'affirmation « Tous les multiples de 5 se terminent par 5 ».
Indice 1

Demande-toi : combien de cas faut-il pour réfuter ? Et pour prouver ?

Indice 2

Cherche un multiple de 5 qui se termine par 0.

Voir la correction pas à pas

  1. Première erreur : tester quatre cas qui marchent ne démontre pas une affirmation générale.

  2. Seconde erreur : un cas qui contredit l'affirmation n'est pas une « exception » qui sauve la règle. En mathématiques, il la rend fausse 6.

  3. Pour « Tous les multiples de 5 se terminent par 5 », on cherche un multiple de 5 qui ne se termine pas par 5.

  4. On teste : 5, 10, 15. Le nombre 10 est multiple de 5 (5×25 \times 2) et se termine par 0.

  5. Rédaction : « L'affirmation est fausse. En effet, 10 est un multiple de 5 car 10=5×210 = 5 \times 2, mais il se termine par 0 et non par 5. »

Retiens la différence : pour réfuter, un seul contre-exemple suffit ; pour prouver, il faut un raisonnement valable dans tous les cas 6.

Les questions qu'on se pose

Combien de contre-exemples faut-il donner pour montrer qu'une affirmation est fausse ?

Un seul. Quand une affirmation prétend valoir pour tous les cas, il suffit de trouver un cas qui respecte les conditions de départ mais pas la conclusion 6. Inutile d'en chercher davantage, mais il faut bien montrer, par un calcul ou une vérification, que ce cas contredit l'énoncé.

Si je ne trouve pas de contre-exemple, est-ce que l'affirmation est vraie ?

Pas forcément. Ne pas trouver de contre-exemple peut venir d'un manque de tests, comme avec les cinq premières valeurs de n2−n+11n^2 - n + 11 qui marchent alors que n=11n = 11 échoue 5. Pour affirmer qu'un énoncé général est vrai, il faut une démonstration, pas seulement des exemples qui fonctionnent. Pour chercher un contre-exemple, essaie des cas particuliers : zéro, un petit nombre, un nombre négatif, une figure très aplatie.

Sources

Programme visé : Programmes d'enseignement de français et de mathématiques du cycle des approfondissements (cycle 4) · Ministère de l'Éducation nationale

  1. Programmes d'enseignement de français et de mathématiques du cycle des approfondissements (cycle 4), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 10 novembre 2026.
  2. Intentions majeures - Mathématiques cycle 4, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
  3. Raisonnement et démonstration en mathématiques, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
  4. Compétences travaillées en mathématiques, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
  5. Nombres et calculs - Informer et accompagner, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
  6. Contre-exemple, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.

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