Mathématiques · 5e
Le contre-exemple : quiz de 5e
Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Un contre-exemple est un cas précis qui rend une affirmation générale fausse.
- Pour réfuter une phrase du type « pour tout… », un seul contre-exemple suffit.
- Pour prouver qu'une affirmation générale est vraie, tester des exemples ne suffit jamais : il faut une démonstration.
- En mathématiques, une exception ne confirme pas la règle : elle la détruit.
Avant de commencer
Ce quiz te fait travailler une idée simple, mais très utile quand on doit démontrer : comment montrer qu'une affirmation est fausse. Tu vas rencontrer des affirmations sur les nombres, sur les figures et sur la vie de tous les jours. À toi de dire si un contre-exemple existe, de le trouver, et de comprendre pourquoi quelques essais réussis ne prouvent rien.
Une affirmation générale est une phrase qui prétend être vraie dans tous les cas : elle contient souvent « pour tout… », « tout », « toujours » ou la forme « si… alors… ». Un contre-exemple est un cas particulier qui respecte les conditions de départ mais pour lequel la conclusion est fausse 6. Quand un énoncé commence par « Pour tout… », il suffit d'un seul élément de ce genre pour le déclarer faux 6.
Quiz
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Un contre-exemple sert à rejeter une affirmation qui prétend être vraie dans tous les cas 6. Il ne prouve jamais qu'une propriété est vraie : le fait de trouver des cas où elle marche ne dit rien sur les autres cas.
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C'est vrai : il suffit de trouver un seul cas qui vérifie les conditions de départ sans que la conclusion soit vraie 6. Penser qu'il en faut plusieurs est une erreur fréquente : un cas qui contredit la règle la rend fausse, même si mille autres cas la respectent.
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Le nombre 2 est premier (ses seuls diviseurs sont 1 et 2) et il est pair : il contredit l'affirmation. Le nombre 9 est impair mais n'est pas premier, car 9 = 3 × 3. Le nombre 7 est premier mais impair, et 15 = 3 × 5 n'est pas premier : aucun des deux ne contredit l'affirmation.
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Le double de 0 est 0 × 2 = 0, qui n'est pas plus grand que 0. Pour 5, le double est 10 ; pour 10, c'est 20 ; pour 1, c'est 2 : dans ces trois cas, l'affirmation se vérifie, donc ils ne la contredisent pas.
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C'est faux. Des essais réussis donnent une idée, mais une propriété qu'on pense juste reste une conjecture tant qu'elle n'est pas démontrée 6. La quatrième valeur, que tu n'as pas testée, peut justement être le contre-exemple.
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On calcule . Or a trois diviseurs : 1, 11 et 121. Il n'a donc pas exactement deux diviseurs, et est un contre-exemple à l'affirmation 5. Des valeurs plus petites de pouvaient laisser croire le contraire : c'est tout l'intérêt de chercher plus loin.
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Le cygne noir est un cas qui contredit l'idée générale et oblige à la remettre en cause 6. Ce n'est pas une confirmation : une règle qui a une exception n'est plus vraie sans exception.
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Les nombres 6 et 12 sont des multiples de 3 (6 = 3 × 2 et 12 = 3 × 4) et ils sont pairs : ils contredisent l'affirmation. Les nombres 9 et 15 sont bien des multiples de 3, mais ils sont impairs, donc ils respectent l'affirmation au lieu de la contredire.
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En mathématiques, l'existence d'une seule exception suffit pour que la règle soit fausse 6. Le proverbe de la vie courante ne s'applique donc pas ici : une règle mathématique générale n'admet aucune exception.
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Le losange a quatre côtés égaux mais n'a pas d'angle droit : il n'est pas un carré. Le carré respecte l'affirmation. Le rectangle n'a pas quatre côtés égaux, donc il ne remplit pas la condition de départ. Le triangle n'est pas un quadrilatère.
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Le nombre 12 = 4 × 3 est divisible par 4, mais 12 ÷ 8 = 1,5 : il n'est pas divisible par 8. Les nombres 8, 16 et 24 sont divisibles par 4 et aussi par 8 : ils vérifient l'affirmation et ne peuvent donc pas la contredire.
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Il faut un raisonnement qui marche pour tous les nombres pairs, par exemple en écrivant chaque nombre pair comme un multiple de 2. Tester des cas, même grands, ne couvre jamais tous les nombres. Ne pas trouver de contre-exemple n'est pas une preuve non plus : peut-être n'as-tu pas cherché au bon endroit.
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On calcule : donne 3, donne 5, donne 7, qui sont tous premiers. Pour , on obtient , qui n'est pas premier. C'est donc le premier contre-exemple. Les trois premiers essais réussis ne prouvaient rien : c'est le piège de la généralisation trop rapide.
Les questions qu'on se pose
Combien de contre-exemples faut-il donner pour montrer qu'une affirmation est fausse ?
Un seul suffit. Une affirmation du type « pour tout… » prétend être vraie dans tous les cas : dès qu'un cas la contredit, elle est fausse 6. Donner d'autres contre-exemples n'est pas utile, sauf si tu veux montrer que l'erreur est fréquente.
Si je ne trouve pas de contre-exemple, est-ce que l'affirmation est vraie ?
Non. Ne pas en trouver ne prouve rien : tu n'as peut-être pas testé le bon cas. Une propriété que l'on pense vraie reste une conjecture tant qu'elle n'est pas démontrée 6. Pour être sûr, il faut une démonstration qui couvre tous les cas.
Quelles valeurs tester en premier pour chercher un contre-exemple ?
Commence par les valeurs particulières : 0, 1, 2, des nombres négatifs, des nombres égaux entre eux, des figures « aplaties » ou très simples. Ce sont souvent elles qui cassent une règle trop rapide. Garde ensuite quelques valeurs ordinaires pour vérifier que ton contre-exemple respecte bien les conditions de départ.
Sources
Programme visé : Programmes d'enseignement de français et de mathématiques du cycle des approfondissements (cycle 4) · Ministère de l'Éducation nationale
- Programmes d'enseignement de français et de mathématiques du cycle des approfondissements (cycle 4), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 10 novembre 2026.
- Intentions majeures - Mathématiques cycle 4, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
- Raisonnement et démonstration en mathématiques, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
- Compétences travaillées en mathématiques, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
- Nombres et calculs - Informer et accompagner, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
- Contre-exemple, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
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