Mathématiques · 5e
Centre de symétrie : cours de mathématiques en 5e
Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Le symétrique de M par rapport à O est le point M' tel que O soit le milieu de [MM'] ; O est le seul point qui ne bouge pas.
- Quand un demi-tour autour d'un point C remet une figure exactement sur elle-même, C est un centre de symétrie de cette figure : elle ne change pas par la symétrie de centre C. 6
- Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en un point qui joue le rôle de centre de symétrie, et seuls les parallélogrammes ont cette particularité. 6
- Les lettres N, S et Z ont un centre de symétrie ; le centre est le milieu de chaque segment reliant un point à son symétrique.
- Avoir un centre de symétrie n'est pas avoir un axe de symétrie : ne confonds pas les deux.
Rappel : le symétrique d'un point par rapport à O
Tu as déjà construit le symétrique d'un point, d'un segment ou d'une figure par symétrie centrale. Ce cours va un cran plus loin : on se demande quand une figure est son propre symétrique. Pour cela, on part d'une idée simple, celle du demi-tour, puis on découvre ce qu'est un centre de symétrie, comment le trouver et pourquoi certaines figures usuelles en possèdent un.
Concrètement, pour construire , tu traces la droite , tu mesures la distance , puis tu reportes cette même distance de l'autre côté de . Les points , et sont donc alignés, et .
Ce que la symétrie centrale ne change pas
Avant de parler de centre de symétrie, rappelons ce que la symétrie centrale conserve. Cela permet de justifier les raisonnements plus loin.
L'image d'un segment est un segment de même longueur, l'image d'un cercle est un cercle de même rayon, et deux droites parallèles ont des images parallèles. La figure obtenue est exactement la même, retournée d'un demi-tour et placée ailleurs.
Qu'est-ce qu'un centre de symétrie ?
Prenons un rectangle dessiné sur du papier calque. Si on le fait tourner d'un demi-tour autour de son milieu, il retombe pile sur le dessin de départ. Ce milieu est un centre de symétrie. Voyons la définition précise.
Que signifie « invariante » ? Le symétrique de chaque point de la figure est encore un point de la figure. La figure ne change pas globalement, même si chaque point (sauf ) va se placer à l'autre bout.
Des figures qui ont un centre de symétrie
Beaucoup de figures de ton quotidien en possèdent un. Voici quelques-unes, avec la façon de trouver le centre.
Prends la lettre Z en capitale. Le trait du haut et le trait du bas ont la même longueur et sont parallèles. Après un demi-tour, le trait du haut prend la place du trait du bas, et la diagonale reste sur elle-même. Le centre est au milieu de la diagonale.
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers : ils ont donc leur centre de symétrie à l'intersection de leurs diagonales.
Cela explique un résultat que tu connais : dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. La symétrie conserve les longueurs, donc et .
Comment trouver le centre de symétrie
Deux situations se présentent : on te donne une figure et on te demande son centre, ou on te donne le centre et on te demande de compléter la figure.
Centre de symétrie, axe de symétrie : ne pas confondre
La symétrie axiale se fait par rapport à une droite : on plie la figure le long de cette droite. La symétrie centrale se fait par rapport à un point : on tourne la figure d'un demi-tour. Une figure peut avoir l'un, l'autre, les deux ou aucun.
Voici quelques cas à connaître :
| Figure | Centre de symétrie | Axe(s) de symétrie |
|---|---|---|
| Parallélogramme quelconque | Oui | Non |
| Rectangle | Oui | Oui |
| Losange | Oui | Oui |
| Triangle quelconque | Non | Non |
| Cercle | Oui | Oui |
Pour le cercle, toute droite passant par son centre est un axe de symétrie : il en possède une infinité. 5
Utiliser un centre de symétrie pour démontrer
Le centre de symétrie sert aussi à justifier des propriétés. Voici un raisonnement type.
Démonstration · Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux
Soit un parallélogramme de centre . La symétrie de centre transforme en et en (car est le milieu de et de ). Elle transforme donc le segment en . Comme elle conserve les longueurs, . On montre de même que .
Exercices corrigés
Exercice 1 Construire un symétrique
Le point est le centre de la symétrie. Le point est tel que cm. On construit le symétrique de . Quelle est la longueur , en cm ?
Indice 1
est le milieu de .
Voir la correction pas à pas
Par définition, est le milieu de , donc cm.
Les points , et sont alignés avec entre et .
On additionne : cm.
La longueur vaut le double de : cm.
Exercice 2 Les côtés d'un parallélogramme
est un parallélogramme de centre . On donne cm, cm et cm. Calcule le périmètre du parallélogramme, en cm.
Indice 1
Les côtés opposés se correspondent par la symétrie de centre .
Indice 2
La symétrie conserve les longueurs.
Voir la correction pas à pas
Le centre est le milieu de , donc cm (cette donnée n'est pas nécessaire pour le périmètre).
La symétrie de centre envoie sur et conserve les longueurs : cm.
De même, a pour image : cm.
Le périmètre vaut cm.
Le périmètre est de cm.
Exercice 3 Quelles lettres ont un centre de symétrie ?
Parmi les lettres capitales N, S, Z, T et L, lesquelles possèdent un centre de symétrie ? Explique pour une lettre avec un demi-tour.
Indice 1
Imagine que tu retournes la lettre d'un demi-tour autour de son milieu.
Voir la correction pas à pas
Pour N, S et Z, un demi-tour autour du milieu de la lettre la superpose à elle-même : ces lettres ont un centre de symétrie.
Pour T, la barre est en haut et le trait vertical en bas : après un demi-tour, la barre serait en bas. Pas de centre de symétrie.
Pour L, le petit trait horizontal est en bas à droite ; après un demi-tour, il se retrouve en haut à gauche, donc la lettre ne se retrouve pas. Pas de centre de symétrie.
Les lettres N, S et Z ont un centre de symétrie ; T et L n'en ont pas.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
-
Par définition, est le milieu de . 6 Dire que est le milieu de est faux : serait du même côté de que . De même, est égal à , pas à son double.
-
Seul le centre est invariant. 6 Un point d'une droite passant par va de l'autre côté de : il change de place, sauf s'il est en .
-
Un parallélogramme a un centre de symétrie, et un quadrilatère qui en a un est un parallélogramme. 6 Des diagonales perpendiculaires ou de même longueur sont des cas particuliers (losange, rectangle), pas des propriétés de tout parallélogramme.
-
Le centre est le point d'intersection des diagonales. 6 Un sommet ne peut pas être centre : il serait son propre symétrique, alors que chaque sommet a pour symétrique le sommet opposé.
-
Les lettres N, S et Z ont un centre de symétrie. 6 La lettre T n'en a pas : après un demi-tour, la barre serait en bas et le trait vertical en haut.
-
C'est faux : les deux notions sont indépendantes. Le parallélogramme quelconque a un centre de symétrie mais pas d'axe, et la lettre Z a un centre mais pas d'axe de symétrie.
-
est le milieu de , donc le symétrique de est . Le point est le symétrique de , et est le symétrique de lui-même.
-
est le milieu de , donc cm. Répondre cm ou cm revient à oublier que est au milieu de la diagonale.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre un centre de symétrie et un axe de symétrie ?
Un axe de symétrie est une droite : on plie la figure le long de cette droite et les deux moitiés se superposent. Un centre de symétrie est un point : on fait un demi-tour autour de lui et la figure se superpose à elle-même. Une figure peut avoir l'un, l'autre, les deux ou aucun.
Comment savoir si une figure a un centre de symétrie ?
Cherche deux points qui se correspondent (par exemple deux sommets opposés) et trace le segment qui les relie. Fais de même avec un autre couple. Si les segments se coupent en un même point qui est leur milieu, c'est un candidat. Vérifie ensuite que tous les autres points ont leur image dans la figure, ou fais un demi-tour de calque.
Pourquoi le centre d'un parallélogramme est-il à l'intersection des diagonales ?
L'intersection des diagonales est le milieu de chacune d'elles. Chaque sommet est donc le symétrique du sommet opposé par rapport à ce point, et chaque côté devient le côté opposé. Au programme de 5e, on admet que ce point est le centre de symétrie du parallélogramme. 2
Un triangle peut-il avoir un centre de symétrie ?
Non. Dans une symétrie centrale, le symétrique d'un sommet autre que le centre est un autre sommet, ce qui associe les sommets deux à deux. Avec trois sommets, c'est impossible : un triangle ne peut pas être invariant par une symétrie centrale.
Peut-on utiliser le centre de symétrie dans une démonstration ?
Oui. Tu dis quel point est le centre, tu donnes les symétriques des points utiles, puis tu cites la conservation des longueurs ou des angles. 6 C'est ainsi que l'on justifie que les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur.
Sources
Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 - Annexe 2 · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse
- Programme de mathématiques pour le cycle 4 - Annexe 2, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 10 novembre 2026.
- Mathématiques Espace et géométrie - Document maître, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
- 5e Mathématiques - Attendus de fin d'année, Éduscol. Consulté le 10 novembre 2026.
- Symétriquement votre - Fiche pédagogique, Édubase. Consulté le 10 novembre 2026.
- Goûter symétrique chez les collégiens, Images des mathématiques (CNRS). Consulté le 10 novembre 2026.
- Symétrie (transformation géométrique), Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.