Propriétés de la symétrie centrale : cours de 5e

Tu sais déjà faire tourner une figure d'un demi-tour et construire le symétrique d'une figure. Dans ce cours, on change de regard : au lieu de seulement construire, on cherche ce qui ne change pas quand on passe d'une figure à son image. C'est ce qui permet ensuite de raisonner sans avoir à mesurer ni à tout dessiner.

Une transformation est une règle qui, à chaque point du plan, associe un autre point. La symétrie centrale est l'une de ces règles. Voyons d'abord précisément comment elle est définie.

Que devient le centre lui-même ? Le milieu du segment $[OO']$ doit être $O$. Cela n'est possible que si $O'$ est confondu avec $O$. Le centre de symétrie est donc son propre symétrique : on dit qu'il reste en place.

Toutes les propriétés de la symétrie centrale découlent d'une seule idée : le centre est le milieu de chaque segment qui relie un point à son image. Deux conséquences se lisent tout de suite.

Première conséquence : les points $M$, $O$ et $M'$ sont alignés, puisque $O$ est un point du segment $[MM']$. Pour construire $M'$, on n'a donc pas le choix de la droite : c'est forcément $(OM)$.

Deuxième conséquence : les distances $OM$ et $OM'$ sont égales, car le milieu d'un segment le partage en deux parties de même longueur. Si tu sais que $OM = 3{,}5$ cm, tu en déduis $OM' = 3{,}5$ cm, et donc $MM' = 7$ cm.

Cette propriété a une conséquence pratique. Une ligne droite est transformée en une ligne droite, jamais en une courbe. Pour dessiner l'image d'une droite ou d'un segment, il suffit donc de connaître l'image de deux de ses points : on les relie ensuite avec la règle.

Concrètement, voici ce que cela t'apprend sur une figure et son image :

• un segment $[AB]$ et son image $[A'B']$ ont la même longueur : $A'B' = AB$ ;
• un angle $\widehat{ABC}$ et son image $\widehat{A'B'C'}$ ont la même mesure ;
• un triangle et son image ont les mêmes côtés et les mêmes angles, donc le même périmètre ;
• un angle droit a pour image un angle droit.

Le programme de 5e attend que tu saches construire l'image d'un segment, d'une droite, d'un cercle par une symétrie centrale.¹ Les propriétés précédentes disent comment s'y prendre : on ne construit pas toute la figure point par point, on choisit quelques points bien placés.

Pourquoi cela marche-t-il pour le cercle ? Un cercle de centre $C$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ de $C$. Les distances sont conservées : l'image d'un point à la distance $r$ de $C$ se trouve à la distance $r$ de $C'$. Tous les points de l'image sont donc sur le cercle de centre $C'$ et de rayon $r$.

Il arrive qu'une figure soit son propre symétrique par rapport à un point. Dans ce cas, on dit que ce point est un centre de symétrie de la figure. Voici un cas important à connaître.

Si $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, alors la symétrie de centre $O$ envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$. C'est logique : $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$, donc $C$ est le symétrique de $A$, et $D$ celui de $B$. Le quadrilatère est envoyé sur lui-même.

On connaît aussi des lettres qui possèdent un centre de symétrie : par exemple N, S et Z.⁴ Fais-les tourner d'un demi-tour sur une feuille : elles se superposent à elles-mêmes.