Propriétés de la symétrie centrale : exercices corrigés de 5e

Traduis la définition : $M'$ est le symétrique de $M$, donc $\Omega$ est le milieu de $[MM']$.

Un milieu partage le segment en deux longueurs égales : $\Omega M' = M\Omega = 3{,}4$ cm.

Les points $M$, $\Omega$ et $M'$ sont alignés dans cet ordre, donc $MM' = M\Omega + \Omega M'$.

Calcule : $MM' = 3{,}4 + 3{,}4 = 6{,}8$ cm.

La symétrie centrale conserve les distances.⁴ Donc $A'B' = 3$ cm, $B'C' = 4$ cm et $A'C' = 5$ cm.

Elle conserve aussi les angles.⁴ Donc $\widehat{A'B'C'} = 90^\circ$ : le triangle image est lui aussi rectangle en $B'$.

Additionne les trois côtés : $3 + 4 + 5 = 12$ cm.

Le centre du cercle image est le symétrique du centre : c'est le point $O'$. Les points de $\mathcal{C}$ sont tous à 2,5 cm de $O$ ; leurs images sont à 2,5 cm de $O'$ puisque les distances sont conservées.⁴

Le rayon est donc conservé : $2{,}5$ cm. Le cercle $\mathcal{C}'$ a le même rayon que $\mathcal{C}$.

Comme $\Omega$ est le milieu de $[OO']$, on a $\Omega O' = \Omega O = 4$ cm.³

Calcule : $OO' = 2 \times 4 = 8$ cm.

Le parallélisme est conservé par la symétrie centrale.⁴ Donc $(d') \parallel (A'B')$.

Soit $(d)$ une droite passant par $\Omega$ et $M$ un point de $(d)$ distinct de $\Omega$. Le point $\Omega$ est le milieu de $[MM']$, donc $M'$ est aligné avec $M$ et $\Omega$ : il appartient à $(d)$.

Tous les points de $(d)$ ont donc leur image sur $(d)$. La droite est globalement conservée : Léa a raison.

Pour une droite ne passant pas par $\Omega$, l'image $(d')$ est une droite différente de $(d)$. Elle est parallèle à $(d)$ : c'est la droite qui se trouve de l'autre côté du centre, à la même distance de $\Omega$.

Le point d'intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.⁴ Le symétrique de $A$ est donc $C$, et celui de $B$ est $D$.

Comme $O$ est le milieu de $[AC]$, on a $OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$ cm.

De même, $O$ est le milieu de $[BD]$ : $OB = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ cm.

$A'$ est le symétrique de $A$, donc $\Omega$ est le milieu de $[AA']$. $B'$ est le symétrique de $B$, donc $\Omega$ est le milieu de $[BB']$.³

Les diagonales $[AA']$ et $[BB']$ de $ABA'B'$ ont donc le même milieu $\Omega$. Ce point est le centre de symétrie du quadrilatère.

Un quadrilatère possédant un centre de symétrie est un parallélogramme.⁴ Donc $ABA'B'$ est un parallélogramme.

Ses côtés opposés ont la même longueur : $A'B' = AB = 6$ cm (conservation des longueurs) et $B'A = BA' = 4$ cm.

Calcule le périmètre : $AB + BA' + A'B' + B'A = 6 + 4 + 6 + 4 = 20$ cm.