Mathématiques · 5e
Construire un triangle : cours de 5e
Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Un triangle n'existe que si son plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres ; s'il y a égalité, les points sont alignés et le triangle est plat.
- Trois côtés connus : on trace le plus long, puis deux arcs de cercle centrés sur ses extrémités ; leur intersection donne le troisième sommet.
- Deux côtés et l'angle qu'ils forment : on trace un côté, on reporte l'angle au rapporteur, puis on reporte la seconde longueur sur la demi-droite.
- Un côté et deux angles : on contrôle que leur somme est inférieure à 180°, puis on trace les deux demi-droites qui se croisent au dernier sommet.
- La somme des angles d'un triangle vaut 180° ; un triangle équilatéral a trois côtés égaux et trois angles de 60°.
Pourquoi certains triangles ne se construisent pas
Prends trois baguettes et essaie de former un triangle en les posant bout à bout. Avec certaines longueurs, ça marche sans effort. Avec d'autres, quoi que tu fasses, les extrémités ne se rejoignent jamais. Construire un triangle, ce n'est donc pas seulement manier la règle et le compas : il faut d'abord savoir si la figure existe, puis choisir la bonne méthode selon les données de l'énoncé.
Dans ce cours, tu vas voir trois situations classiques : on connaît les trois côtés ; on connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment ; on connaît un côté et les deux angles qui lui sont accolés. Dans chaque cas, tu apprendras les étapes, la vérification et les pièges. Tu as déjà vu deux notions utiles : la somme des angles d'un triangle et l'inégalité triangulaire. On les rappelle tout de suite, car elles servent de contrôle avant de dessiner.
Savoir si un triangle est constructible
Avant de sortir le compas, fais un test rapide de quelques secondes. Il t'évite de t'acharner sur une figure impossible.
Le cas limite : le triangle plat
Que se passe-t-il quand le plus grand côté est exactement égal à la somme des deux autres ? Les trois points existent, mais ils sont tous sur la même droite. La figure est écrasée : ce n'est pas un vrai triangle.
Construire un triangle connaissant ses trois côtés
C'est la situation la plus fréquente. Les trois longueurs sont données, aucun angle ne l'est. L'outil principal est le compas : un arc de cercle rassemble tous les points situés à une même distance d'un centre. Le troisième sommet doit être à la bonne distance de deux sommets déjà placés : il se trouve donc à l'intersection de deux arcs.
- TesterPlus grand côté < somme des deux autres
- Tracer un côtéRègle graduée : segment [AB]
- Deux arcsCompas en A, puis en B, avec les bonnes longueurs
- RelierC est à l'intersection : tracer [AC] et [BC]
Deux côtés et l'angle qu'ils forment
Ici, l'énoncé donne les longueurs de deux côtés et la mesure de l'angle situé entre ces deux côtés, c'est-à-dire l'angle dont ces deux côtés sont les branches. On dit que l'angle est adjacent aux deux côtés donnés.5 Dans cette situation, le triangle existe toujours, tant que l'angle est strictement compris entre et : aucun test préalable n'est nécessaire. Le rapporteur remplace le second arc de compas.
Un côté et deux angles
Dernière situation : on donne la longueur d'un côté et les mesures des deux angles qui s'appuient sur ce côté. Un énoncé de ce type est par exemple : tracer le triangle tel que cm, et .3 Le côté relie les deux sommets où se trouvent les angles connus.
| Données | Outils | Contrôle avant de tracer |
|---|---|---|
| Trois côtés | Règle et compas | Le plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres |
| Deux côtés et l'angle compris | Règle et rapporteur | Angle entre 0° et 180° |
| Un côté et deux angles | Règle et rapporteur | Somme des deux angles inférieure à 180° |
Triangles particuliers et erreurs à éviter
Certains triangles portent un nom parce qu'ils ont une propriété remarquable : triangle rectangle, isocèle, équilatéral.1 Leur définition donne des informations gratuites qui facilitent la construction.
Exercices corrigés
Exercice 1 Le troisième angle
On veut construire le triangle tel que cm, et .
- Vérifie que cette construction est possible.
- Calcule la mesure de l'angle en degrés.
Indice 1
Additionne d'abord les deux angles connus.
Indice 2
La somme des trois angles d'un triangle vaut 180°.
Voir la correction pas à pas
On additionne les deux angles donnés : .
Cette somme est strictement inférieure à , donc le triangle peut être construit.
On retranche cette somme à : .
L'angle mesure . Tu peux le vérifier au rapporteur une fois la figure tracée.
Exercice 2 Quelle longueur pour le troisième côté ?
On veut construire un triangle dont deux côtés mesurent cm et cm. Le troisième côté mesure cm, où est un nombre entier.
- Écris les deux conditions que doit vérifier pour que le triangle existe.
- Quelle est la plus grande valeur entière possible de ?
Indice 1
Le plus grand côté doit rester plus petit que la somme des deux autres. Le plus grand peut être ou .
Indice 2
Une égalité donnerait un triangle plat : elle est exclue.
Voir la correction pas à pas
Si est le plus grand côté, il faut , donc .
Si est le plus grand côté, il faut , donc .
Les valeurs entières possibles sont donc .
La plus grande est : c'est l'entier juste en dessous de .
Le troisième côté peut valoir de à cm si on le prend entier. La valeur donnerait un triangle plat, et aussi.
Exercice 3 Des angles en proportion
Les trois angles d'un triangle mesurent , et degrés.
- Écris une équation traduisant la somme des angles.
- Détermine , puis la mesure du plus grand angle.
Indice 1
Additionne , et et égale à la somme des angles.
Indice 2
Une fois trouvé, le plus grand angle est .
Voir la correction pas à pas
La somme des angles vaut : .
On regroupe : . Il faut donc partager en parts égales : .
Les angles mesurent , et .
Le plus grand angle est .
Le plus grand angle mesure : ce triangle est rectangle.
Quiz
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-
Pour ; ; , le plus grand côté vaut et , donc : le triangle existe. Pour ; ; , on a : impossible. Pour ; ; , on a : égalité, donc triangle plat. Pour ; ; , on a : impossible.
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La somme des angles vaut . On calcule . L'erreur tentante est d'additionner les trois angles ou d'oublier un des deux angles dans la soustraction.
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On a , donc : le point se place sur le segment . Les points sont alignés et le triangle est plat. Dire « vrai » parce que les trois longueurs sont positives oublie que l'inégalité doit être stricte.
-
Les deux plus petits côtés totalisent cm, moins que le plus grand ( cm) : leurs extrémités ne se rejoignent pas. Une longueur décimale ne pose aucun problème, et un triangle peut avoir trois côtés différents. La somme est toujours grande : ce n'est pas elle qu'il faut tester.
-
Le troisième sommet est à une distance donnée de chacun des deux autres : il se trouve à l'intersection de deux arcs de cercle tracés au compas. Aucun angle n'est connu ici, donc le rapporteur ne sert pas à tracer, et rien n'indique d'angle droit pour l'équerre.
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Les trois angles sont égaux et leur somme vaut , donc chacun mesure . La valeur est celle d'un angle droit, et ou donneraient une somme différente de .
-
Avec , la somme dépasse : impossible. Avec , les côtés ne se rejoignent pas : impossible. Les deux autres cas sont possibles : , et deux côtés avec l'angle compris donnent toujours un triangle.
Les questions qu'on se pose
Faut-il toujours tracer le plus grand côté en premier ?
Ce n'est pas obligatoire : n'importe quel côté peut servir de base. Commencer par le plus long est pourtant pratique : le triangle se dessine alors au-dessus de sa base, et les arcs restent faciles à tracer sur la feuille.
Que faire si mes deux arcs de cercle ne se coupent pas ?
Deux cas sont possibles. Soit le triangle n'existe pas : refais le test avec le plus grand côté et la somme des deux autres. Soit tu as déréglé le compas : refais le tracé en vérifiant l'écartement à la règle. Si les arcs ne se touchent qu'en un point, les trois sommets sont alignés et le triangle est plat.
Pourquoi dit-on qu'un triangle plat n'est pas un vrai triangle ?
Parce que ses trois sommets sont sur une même droite : la figure n'a plus d'intérieur et n'a plus de surface.5 On le repère avec l'égalité , qui marque le passage entre les triangles qui existent et ceux qui sont impossibles.
Comment vérifier que ma construction est juste ?
Mesure à la règle les côtés que tu as tracés, puis au rapporteur les angles. Pour un contrôle supplémentaire, additionne les trois angles : tu dois obtenir à un ou deux degrés près.3 Un écart plus grand vient souvent d'un compas qui a glissé ou d'une mauvaise graduation du rapporteur.
Faut-il effacer les traits de construction ?
Non. Les arcs de compas et les repères d'angle montrent comment tu as procédé, et c'est ce qu'on regarde dans une correction. Garde-les, trace-les finement, et code les longueurs et les angles sur la figure finale.
Sources
Programme visé : Géométrie - Espace et géométrie - Triangles (Cycle 4) · Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale)
- Géométrie - Espace et géométrie - Triangles (Cycle 4), Éduscol (Ministère de l'Éducation nationale). Consulté le 10 novembre 2026.
- Questions FLASH — Mesure des angles et inégalité triangulaire, Édubase (Éduscol). Consulté le 10 novembre 2026.
- Triangles — Connaissant les mesures des trois côtés, Sésamath. Consulté le 10 novembre 2026.
- Activité — Inégalité triangulaire (constructibilité), Sésamath. Consulté le 10 novembre 2026.
- Triangles et cercles (5e) — Cours avec constructions, Académie de Lyon. Consulté le 10 novembre 2026.
- Triangle équilatéral, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
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