Construire un triangle : exercices corrigés de 5e

Le plus grand côté est $BC = 7$ cm.

Les deux autres côtés mesurent $5$ cm et $4$ cm : leur somme vaut $5 + 4 = 9$ cm.

On compare : $7 < 9$. Le plus grand côté est strictement plus petit que la somme des deux autres : le triangle existe.⁵

On le trace ainsi : on dessine $[AB]$ de $5$ cm, puis un arc de centre $A$ et de rayon $4$ cm, puis un arc de centre $B$ et de rayon $7$ cm. Ils se coupent en $C$.³

Le plus grand côté est $GH = 9$ cm.

On additionne les deux autres : $HI + GI = 4 + 4{,}5 = 8{,}5$ cm.

On compare : $8{,}5 < 9$. Le plus grand côté dépasse la somme des deux autres.

Concrètement, les deux arcs de cercle tracés depuis $G$ et $H$ ne se rejoindraient jamais : le point $I$ n'existe pas.⁴

Les trois angles d'un triangle totalisent $180^\circ$.³

On écrit : $\widehat{P} = 180 - 52 - 67$.

On calcule : $52 + 67 = 119$, puis $180 - 119 = 61$.

Le plus grand côté est $AB = 7$ cm.

On calcule $AC + BC = 3 + 4 = 7$ cm : on a $AB = AC + BC$.

Quand la longueur du plus grand côté est égale à la somme des deux autres, les trois points sont alignés et le point $C$ est sur le segment $[AB]$.⁵

Le triangle est alors plat (aplati) : on ne peut pas tracer un vrai triangle.⁴

Vérification au compas : l'arc de centre $A$ (rayon $3$ cm) et l'arc de centre $B$ (rayon $4$ cm) se touchent en un seul point, situé sur $[AB]$.

On trace le segment $[MN]$ de $7$ cm.

On place le rapporteur en $M$, avec son zéro sur $[MN]$, et on marque un point à $60^\circ$.

On trace la demi-droite d'origine $M$ passant par ce repère.

Sur cette demi-droite, on place $P$ à $4$ cm de $M$, avec la règle.

On joint $P$ à $N$ : le triangle $MNP$ est tracé.

Justification : quand l'angle est compris entre les deux côtés donnés, le tracé se fait directement et le triangle existe toujours (aucune comparaison de longueurs n'est nécessaire).⁵

On additionne : $110 + 40 = 150$. Ce total est inférieur à $180^\circ$, donc un troisième angle positif existe.

Les trois angles totalisent $180^\circ$ :³ $\widehat{EGF} = 180 - 110 - 40 = 30^\circ$.

Tracé : on dessine $[EF]$ de $8$ cm.

En $E$, on trace une demi-droite faisant $110^\circ$ avec $[EF]$ ; en $F$, une demi-droite faisant $40^\circ$ avec $[FE]$, du même côté de la droite $(EF)$.

Le point $G$ est l'intersection des deux demi-droites.

On trace $[KL]$ de $4{,}5$ cm.

On règle le compas sur $4{,}5$ cm. On trace un arc de centre $K$, puis un arc de centre $L$, avec ce même écartement.

Les deux arcs se coupent en $M$ : on a $KM = LM = 4{,}5$ cm. On joint $M$ à $K$ et à $L$.

Dans un triangle équilatéral, les trois côtés sont égaux, donc les trois angles ont la même mesure.⁶

Ils totalisent $180^\circ$, donc chacun mesure $180 \div 3 = 60^\circ$.⁶

Cas où $9$ est le plus grand côté : il faut $9 < 4 + x$, soit $x > 5$.

Cas où $x$ est le plus grand côté : il faut $x < 4 + 9$, soit $x < 13$.

Ces deux conditions couvrent tous les cas : $5 < x < 13$.⁵

Les entiers possibles sont $6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$.

On compte : de $6$ à $12$ inclus, il y a $12 - 6 + 1 = 7$ valeurs.

Contrôle : avec $x = 5$, on aurait $4 + 5 = 9$ : triangle aplati ; avec $x = 13$, $4 + 9 = 13$ : aplati aussi. Ces deux valeurs sont exclues.

Les angles d'un triangle totalisent $180^\circ$ :³ $x + 2x + 3x = 180$.

On regroupe : $6x = 180$, donc $x = 180 \div 6 = 30$.

Les angles valent $30^\circ$, $60^\circ$ et $90^\circ$.

Le plus grand angle est $3x = 3 \times 30 = 90^\circ$.

Un angle de $90^\circ$ est un angle droit : le triangle est rectangle.