Hauteurs, médianes et médiatrices : cours de 5e

Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une médiatrice est la droite perpendiculaire à un côté en son milieu ; elle ne passe pas forcément par un sommet.
Une hauteur part d'un sommet et coupe le côté opposé (ou son prolongement) à angle droit.
Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé.
Chaque triangle a trois hauteurs, trois médianes et trois médiatrices ; ce sont des droites ou des segments à ne pas confondre.
Dans un triangle obtus, une hauteur peut se situer à l'extérieur du triangle : on prolonge le côté pour la tracer.
Tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance de ses deux extrémités.

Pourquoi étudier ces trois droites

Dans un triangle, on peut tracer beaucoup de lignes. Trois familles reviennent sans cesse en géométrie : les hauteurs, les médianes et les médiatrices. Le programme du cycle 4 propose, en prolongement, de reconnaître ces droites remarquables, y compris dans des triangles particuliers. ¹ Leur nom fait partie du vocabulaire géométrique que l'élève doit maîtriser. ²

Ces trois mots se ressemblent, et c'est la source de la plupart des erreurs en contrôle. Ce cours te donne pour chacun une définition précise, une méthode de tracé et un moyen de ne plus les mélanger.

Pour suivre ce chapitre, tu as besoin de trois acquis : savoir construire un triangle à partir de ses côtés, connaître la somme des angles d'un triangle et savoir ce qu'est l'inégalité triangulaire. Ce dernier terme fait aussi partie du vocabulaire géométrique du cycle 4. ² Il te faut aussi un matériel simple : une règle graduée, une équerre et un compas.

Ce chapitre prépare le suivant, celui sur l'aire du triangle, où la hauteur joue un rôle central.

La médiatrice d'un segment

Deux conditions sont réunies en même temps : l'angle droit et le milieu. Une droite perpendiculaire à un segment mais qui ne passe pas par son milieu n'est pas sa médiatrice. Une droite qui passe par le milieu mais de travers non plus.

Une médiatrice est une droite : elle se prolonge des deux côtés. Elle ne passe pas en général par un sommet du triangle. Le mot « médiatrice » fait partie du vocabulaire que tu dois savoir employer au cycle 4. ²

La hauteur d'un triangle

La médiane d'un triangle

Comparer les trois droites pour ne plus les confondre

Le tableau suivant résume ce qui distingue chaque ligne. Relis-le avant un contrôle : le programme cite médiatrices, médianes et hauteurs parmi les droites remarquables à reconnaître. ¹

Hauteur, médiane, médiatrice : comparaison
Droite	Part d'un sommet ?	Coupe le côté en son milieu ?	Angle droit avec le côté ?
Hauteur	Oui	Pas forcément	Oui
Médiane	Oui	Oui	Pas forcément
Médiatrice	Pas forcément	Oui	Oui

Hauteur, médiane, médiatrice : comparaison · Seule la médiatrice cumule le milieu et l'angle droit.

DépartPart-elle d'un sommet ?
MilieuTombe-t-elle au milieu du côté ?
AngleForme-t-elle un angle droit ?
VerdictMilieu seul : médiane. Angle seul : hauteur. Les deux : médiatrice (et, si elle part d'un sommet, aussi hauteur et médiane).

Choisir la bonne droite · Trois questions suffisent pour nommer la droite.

Cas particuliers et observations

Dans certains triangles, les droites remarquables se confondent. Le programme invite justement à les reconnaître dans les triangles particuliers. ¹ Voici ce que tu peux observer et vérifier en traçant.

Le triangle isocèle. Un triangle isocèle en $A$ a deux côtés égaux : $AB = AC$ . Le point $A$ est alors à la même distance de $B$ et de $C$ , donc $A$ est sur la médiatrice de $[BC]$ . Du coup, la médiatrice de $[BC]$ , la hauteur issue de $A$ et la médiane issue de $A$ portent la même droite.

Le triangle équilatéral. Si les trois côtés sont égaux, le raisonnement précédent s'applique à chacun des trois sommets : pour chaque sommet, la hauteur, la médiane et la médiatrice du côté opposé coïncident. C'est un exemple de triangle particulier où ces droites se reconnaissent. ¹

Le triangle rectangle. Si l'angle droit est en $A$ , alors $(AB)$ est perpendiculaire à $(AC)$ . La hauteur issue de $B$ est donc la droite $(BA)$ , puisque cette droite passe par $B$ et est perpendiculaire à $(AC)$ . De même, la hauteur issue de $C$ est $(CA)$ .

Méthode complète : un exemple rédigé

MéthodeRédaction pas à pas

Étape 1, le triangle. Trace $[BC]$ de $8$ cm. Avec le compas, trace un arc de centre $B$ et de rayon $6$ cm, puis un arc de centre $C$ et de rayon $7$ cm. Ils se coupent en $A$ . Les trois mesures respectent l'inégalité triangulaire : $6 + 7 > 8$ , donc le triangle existe.

Étape 2, la médiatrice de $[BC]$ . Compas ouvert à $5$ cm (supérieur à $4$ cm, moitié de $BC$ ), arcs de centres $B$ et $C$ , droite passant par les deux points d'intersection. Elle coupe $[BC]$ en $M$ avec $BM = 4$ cm.

Étape 3, la médiane issue de $A$ . Comme $M$ est le milieu de $[BC]$ , le segment $[AM]$ est la médiane issue de $A$ .

Étape 4, la hauteur issue de $A$ . Équerre le long de $(BC)$ , glissée jusqu'à $A$ . Le pied est $H$ . Ici, $H$ est différent de $M$ car le triangle n'est pas isocèle en $A$ : la hauteur et la médiane sont deux segments distincts.

Exercices corrigés

Exercice 1 Longueur sur une médiane

★☆☆Environ 5 min

Dans un triangle $ABC$ , $M$ est le milieu de $[BC]$ et $BC = 9{,}4$ cm. Calcule la longueur $BM$ .

Indice 1

Que sais-tu de la distance entre un milieu et chaque extrémité du segment ?

Voir la correction pas à pas

$[AM]$ est la médiane issue de $A$ : $M$ est le milieu de $[BC]$ .
Un milieu partage le segment en deux parties égales : $BM = \dfrac{BC}{2}$ .
On calcule : $BM = 9{,}4 \div 2 = 4{,}7$ cm.

$BM = 4{,}7$ cm, et $MC$ vaut aussi $4{,}7$ cm.

Exercice 2 Angle dans un triangle avec une hauteur

★★☆Environ 8 min

Dans le triangle $ABC$ , la hauteur issue de $A$ coupe $[BC]$ en $H$ , avec $H$ entre $B$ et $C$ . On sait que $\widehat{ABC} = 52°$ . Calcule la mesure de l'angle $\widehat{BAH}$ .

Indice 1

Que peux-tu dire du triangle $ABH$ ?

Indice 2

Utilise la somme des angles d'un triangle.

Voir la correction pas à pas

$(AH)$ est la hauteur issue de $A$ : elle est perpendiculaire à $(BC)$ , donc $\widehat{AHB} = 90°$ .
Le triangle $ABH$ a trois angles : $\widehat{ABH} = 52°$ , $\widehat{AHB} = 90°$ et $\widehat{BAH}$ à trouver.
La somme des angles d'un triangle vaut $180°$ : $\widehat{BAH} = 180° - 90° - 52°$ .
On calcule : $\widehat{BAH} = 38°$ .

$\widehat{BAH} = 38°$ . Remarque : les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont toujours complémentaires, leur somme vaut $90°$ .

Exercice 3 Distance et médiatrice

★★☆Environ 8 min

Le segment $[EF]$ mesure $7$ cm. Le point $P$ est sur la médiatrice de $[EF]$ et $PE = 5$ cm. Le point $K$ est le milieu de $[EF]$ .

Donne la longueur $PF$ .
Donne la longueur $EK$ .

Indice 1

Un point de la médiatrice est à la même distance des deux extrémités.

Indice 2

$K$ est le milieu : divise $EF$ par 2.

Voir la correction pas à pas

$P$ appartient à la médiatrice de $[EF]$ , donc il est à égale distance de $E$ et de $F$ : $PF = PE = 5$ cm.
$K$ est le milieu de $[EF]$ : $EK = \dfrac{EF}{2} = 7 \div 2 = 3{,}5$ cm.
La médiatrice passe par $K$ et lui est perpendiculaire, donc $(PK) \perp (EF)$ si $P$ est distinct de $K$ .

$PF = 5$ cm et $EK = 3{,}5$ cm. La réponse numérique retenue est celle de la question 2 : $EK = 3{,}5$ cm.

Exercice 4 Quelle droite dans un triangle isocèle

★★★Environ 10 min

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ , avec $AB = AC = 10$ cm et $BC = 12$ cm. $M$ est le milieu de $[BC]$ .

Explique pourquoi la droite $(AM)$ est la médiatrice de $[BC]$ .
Que peux-tu en déduire sur $(AM)$ comme hauteur ?
Donne la longueur $BM$ .

Indice 1

Compare les distances $AB$ et $AC$ .

Indice 2

Rappelle-toi la propriété réciproque de la médiatrice.

Voir la correction pas à pas

$AB = AC$ , donc $A$ est à la même distance de $B$ et de $C$ : $A$ est sur la médiatrice de $[BC]$ .
$M$ est le milieu de $[BC]$ : $M$ est aussi sur cette médiatrice. Deux points distincts $A$ et $M$ définissent la droite $(AM)$ , qui est donc la médiatrice de $[BC]$ .
La médiatrice est perpendiculaire à $[BC]$ : $(AM) \perp (BC)$ . La droite $(AM)$ passe par $A$ et est perpendiculaire à $(BC)$ : c'est la hauteur issue de $A$ . Comme $M$ est le milieu, c'est aussi la médiane issue de $A$ .
$BM = \dfrac{BC}{2} = 12 \div 2 = 6$ cm.

Dans ce triangle isocèle, la médiatrice de la base, la hauteur et la médiane issues du sommet principal se confondent, et $BM = 6$ cm.

Les questions qu'on se pose

Comment ne pas confondre hauteur et médiane ?

Regarde ce qui est imposé au côté opposé. Une hauteur doit le couper à angle droit, sans que le point d'arrivée soit forcément son milieu. Une médiane doit tomber en son milieu, sans que l'angle soit forcément droit. Les deux partent d'un sommet.

Pourquoi la médiatrice ne passe-t-elle pas par un sommet ?

La médiatrice est définie à partir d'un segment (un côté), pas d'un sommet. Elle passe par le milieu de ce côté et lui est perpendiculaire. Elle ne passe par le sommet opposé que dans des cas particuliers, comme le triangle isocèle ou équilatéral.

Une hauteur peut-elle être en dehors du triangle ?

Oui, dans un triangle qui a un angle obtus. Le pied de la hauteur est alors sur le prolongement d'un côté. Il faut prolonger ce côté avec la règle, puis tracer la perpendiculaire avec l'équerre.

Combien y a-t-il de hauteurs, de médianes et de médiatrices dans un triangle ?

Il y en a trois de chaque, car il y a trois sommets pour les hauteurs et les médianes, et trois côtés pour les médiatrices. Quand on trace les trois d'une même famille avec soin, elles se croisent en un seul point.

Comment trouver le milieu d'un segment avec précision ?

Mesure le segment, divise sa longueur par 2 et reporte cette distance depuis une extrémité. Pour plus de précision, construis la médiatrice au compas : elle coupe le segment exactement en son milieu.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 (5e, 4e, 3e) · education.gouv.fr

Programme de mathématiques pour le cycle 4 (5e, 4e, 3e), education.gouv.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
MATHÉMATIQUES Espace et géométrie - Document maître (Cycle 4), eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 10 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Hauteurs, médianes et médiatrices : cours de 5e

L'essentiel

Pourquoi étudier ces trois droites

La médiatrice d'un segment

La hauteur d'un triangle

La médiane d'un triangle

Comparer les trois droites pour ne plus les confondre

Cas particuliers et observations

Méthode complète : un exemple rédigé

Exercices corrigés

Exercice 1 Longueur sur une médiane

Exercice 2 Angle dans un triangle avec une hauteur

Exercice 3 Distance et médiatrice

Exercice 4 Quelle droite dans un triangle isocèle

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur