Hauteurs, médianes, médiatrices : exercices de 5e

Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Les médiatrices, les médianes et les hauteurs font partie des droites remarquables que le programme demande de reconnaître dans un triangle ¹.
Une médiatrice passe par le milieu d'un côté et le coupe à angle droit ; une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé ; une hauteur part d'un sommet et tombe à angle droit sur le côté opposé (ou sur son prolongement).
Chaque exercice se résout en trois temps : repérer la droite, traduire sa propriété (milieu, angle droit, égalité de longueurs), puis calculer.
Vérifie toujours le résultat : une longueur est positive, et la somme des angles d'un triangle fait 180°.

Comment utiliser ces exercices

Dans le programme du cycle 4, le vocabulaire de la géométrie comprend la médiatrice et la hauteur ², et il est demandé de reconnaître des droites remarquables dans les triangles, comme les médiatrices, les médianes et les hauteurs ¹. Ces exercices t'aident à les manipuler sans te tromper.

Les exercices sont rangés par difficulté croissante. Les premiers demandent surtout de reconnaître une droite et de lire une information sur une figure. Les suivants mélangent un calcul de longueur ou d'angle avec une propriété à utiliser. Les derniers demandent d'enchaîner plusieurs étapes.

Rappel des trois droites

À retenirÀ avoir en tête

Droite	Part de	Passe par	Angle avec le côté
Médiatrice d'un côté	pas forcément d'un sommet	le milieu du côté	$90^\circ$
Médiane	un sommet	le milieu du côté opposé	quelconque
Hauteur	un sommet	le pied de la hauteur sur le côté opposé (ou son prolongement)	$90^\circ$

Dans un triangle, il y a donc trois médiatrices (une par côté), trois médianes et trois hauteurs (une par sommet). Quand l'énoncé précise « la hauteur issue de A », cela signifie que la droite part du sommet A.

Les exercices

Exercice 1 Reconnaître la droite

★☆☆Environ 5 min

Sur une figure, on voit un triangle $ABC$ . Trois droites sont tracées.

La droite $(d_1)$ passe par $A$ et par le milieu $I$ du côté $[BC]$ .
La droite $(d_2)$ passe par $A$ et coupe $[BC]$ en $H$ en formant un angle droit.
La droite $(d_3)$ passe par le milieu $J$ de $[AB]$ et coupe $[AB]$ en formant un angle droit.

Pour chaque droite, indique s'il s'agit d'une médiane, d'une hauteur ou d'une médiatrice, en justifiant.

Indice 1

Cherche pour chaque droite les deux mots clés : « milieu » et « angle droit ».

Indice 2

Une droite qui part d'un sommet et passe par un milieu, sans angle droit annoncé, est une médiane.

Voir la correction pas à pas

$(d_1)$ part du sommet $A$ et passe par le milieu $I$ du côté opposé $[BC]$ : c'est la médiane issue de $A$ .
$(d_2)$ part du sommet $A$ et tombe à angle droit sur $[BC]$ : c'est la hauteur issue de $A$ .
$(d_3)$ passe par le milieu $J$ de $[AB]$ et lui est perpendiculaire : c'est la médiatrice de $[AB]$ .
On remarque que $(d_3)$ ne passe pas par un sommet imposé, ce qui la distingue des deux autres.

$(d_1)$ est une médiane, $(d_2)$ une hauteur, $(d_3)$ une médiatrice.

Exercice 2 Le milieu d'un segment

★☆☆Environ 5 min

Le segment $[AB]$ mesure $8$ cm. La médiatrice de $[AB]$ coupe ce segment en $M$ . Quelle est la longueur $AM$ , en cm ?

Indice 1

La médiatrice passe par le milieu du segment.

Indice 2

Un milieu partage le segment en deux longueurs égales.

Voir la correction pas à pas

La médiatrice de $[AB]$ passe par le milieu du segment, donc $M$ est le milieu de $[AB]$ .
Ainsi $AM = MB$ et $AM + MB = AB = 8$ cm.
On en déduit $AM = 8 \div 2 = 4$ cm.

$AM = 4$ cm.

Exercice 3 Une médiane et un côté

★☆☆Environ 5 min

Dans le triangle $ABC$ , la médiane issue de $A$ coupe $[BC]$ en $I$ . On sait que $BC = 11$ cm. Calcule $BI$ , en cm.

Indice 1

Que sait-on de $I$ par rapport au côté $[BC]$ ?

Indice 2

Divise la longueur du côté par 2.

Voir la correction pas à pas

La médiane issue de $A$ passe par le milieu du côté opposé, donc $I$ est le milieu de $[BC]$ .
Alors $BI = IC$ et $BI + IC = 11$ cm.
Donc $BI = 11 \div 2 = 5{,}5$ cm.

$BI = 5{,}5$ cm.

Exercice 4 Un angle dans un triangle rectangle

★★☆Environ 8 min

Dans le triangle $ABC$ , la hauteur issue de $A$ coupe $[BC]$ en $H$ . L'angle $\widehat{ABC}$ mesure $50^\circ$ . Calcule la mesure de l'angle $\widehat{BAH}$ , en degrés.

Indice 1

Que dire du triangle $ABH$ puisque $(AH)$ est une hauteur ?

Indice 2

Utilise la somme des angles d'un triangle.

Voir la correction pas à pas

$(AH)$ est la hauteur issue de $A$ , donc $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ et $\widehat{AHB} = 90^\circ$ .
Dans le triangle $ABH$ , la somme des angles vaut $180^\circ$ : $\widehat{BAH} + 50^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ .
Donc $\widehat{BAH} = 180^\circ - 50^\circ - 90^\circ = 40^\circ$ .

$\widehat{BAH} = 40^\circ$ .

Exercice 5 Deux points à égale distance

★★☆Environ 8 min

Le point $P$ appartient à la médiatrice du segment $[EF]$ . On mesure $PE = 6{,}3$ cm. Sans mesurer $PF$ , donne sa longueur en cm, puis explique ton raisonnement.

Indice 1

Tout point de la médiatrice a un lien avec les extrémités du segment.

Indice 2

Pense au cas où $P$ est le milieu de $[EF]$ , puis au cas général avec un triangle $PEF$ dont la médiatrice passe par $P$ .

Voir la correction pas à pas

Appelle $M$ le milieu de $[EF]$ : la médiatrice passe par $M$ et est perpendiculaire à $[EF]$ .
Les triangles $PME$ et $PMF$ sont rectangles en $M$ , ont le côté $[PM]$ en commun et $ME = MF$ .
Ils sont donc superposables (en les retournant autour de la médiatrice), donc $PE = PF$ .
Par conséquent $PF = 6{,}3$ cm.

$PF = 6{,}3$ cm : un point de la médiatrice est à égale distance des deux extrémités du segment.

Exercice 6 Les angles autour d'une hauteur

★★☆Environ 10 min

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{ABC} = 35^\circ$ et $\widehat{ACB} = 65^\circ$ . La hauteur issue de $A$ coupe $[BC]$ en $H$ , entre $B$ et $C$ . Calcule l'angle $\widehat{BAC}$ de deux façons : d'abord avec la hauteur, puis avec la somme des angles de $ABC$ . Donne le résultat en degrés.

Indice 1

Calcule séparément $\widehat{BAH}$ et $\widehat{CAH}$ dans les deux triangles rectangles.

Indice 2

Comme $H$ est entre $B$ et $C$ , l'angle $\widehat{BAC}$ est la somme de $\widehat{BAH}$ et $\widehat{CAH}$ .

Voir la correction pas à pas

Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$ : $\widehat{BAH} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ : $\widehat{CAH} = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ$ .
$H$ est entre $B$ et $C$ , donc $\widehat{BAC} = 55^\circ + 25^\circ = 80^\circ$ .
Contrôle : dans $ABC$ , $\widehat{BAC} = 180^\circ - 35^\circ - 65^\circ = 80^\circ$ . Les deux méthodes donnent le même résultat.

$\widehat{BAC} = 80^\circ$ , trouvé de deux façons concordantes.

Exercice 7 Périmètre d'un demi-triangle

★★★Environ 12 min

Dans le triangle $ABC$ , on a $AB = 7$ cm, $AC = 9$ cm et $BC = 8$ cm. La médiane issue de $A$ coupe $[BC]$ en $I$ et mesure $AI = 7$ cm. Calcule le périmètre du triangle $ABI$ , en cm. Dis ensuite quel périmètre est le plus grand entre $ABI$ et $AIC$ , et de combien.

Indice 1

Commence par trouver $BI$ et $IC$ .

Indice 2

Les deux triangles ont le côté $[AI]$ en commun : seule une différence de longueur compte pour comparer.

Voir la correction pas à pas

$AI$ est une médiane : $I$ est le milieu de $[BC]$ , donc $BI = IC = 8 \div 2 = 4$ cm.
Périmètre de $ABI$ : $AB + BI + AI = 7 + 4 + 7 = 18$ cm.
Périmètre de $AIC$ : $AC + IC + AI = 9 + 4 + 7 = 20$ cm.
Comparaison : $20 - 18 = 2$ cm, soit exactement la différence $AC - AB = 9 - 7$ cm, car les autres côtés sont égaux deux à deux.

Le périmètre de $ABI$ est $18$ cm ; celui de $AIC$ est plus grand de $2$ cm.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si une droite est une hauteur ou une médiane sur une figure ?

Regarde le codage. Un petit carré qui marque un angle droit indique une hauteur (ou une médiatrice si le milieu est aussi codé). Deux petits traits identiques sur les deux moitiés d'un côté indiquent un milieu, donc une médiane si la droite part du sommet opposé. En l'absence de codage, ne devine pas : l'énoncé doit te donner l'information.

Que faire si je n'arrive pas à construire une hauteur à l'équerre ?

Place un côté de l'angle droit de l'équerre le long du côté sur lequel tombe la hauteur, puis fais glisser l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par le sommet. Trace alors la droite. Pour un angle obtus, la hauteur peut tomber à l'extérieur du triangle : prolonge le côté si besoin.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques pour le cycle 4 (5e, 4e, 3e) · education.gouv.fr

Programme de mathématiques pour le cycle 4 (5e, 4e, 3e), education.gouv.fr. Consulté le 10 novembre 2026.
MATHÉMATIQUES Espace et géométrie - Document maître (Cycle 4), eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 10 novembre 2026.

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Exercice 1 Reconnaître la droite

Exercice 2 Le milieu d'un segment

Exercice 3 Une médiane et un côté

Exercice 4 Un angle dans un triangle rectangle

Exercice 5 Deux points à égale distance

Exercice 6 Les angles autour d'une hauteur

Exercice 7 Périmètre d'un demi-triangle

Les questions qu'on se pose

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