L'inégalité triangulaire : cours de 5e

Tu as déjà essayé de tracer un triangle avec trois longueurs choisies au hasard ? Parfois, les extrémités ne se rejoignent jamais. Ce n'est pas un défaut de ton compas : certaines longueurs ne peuvent tout simplement pas être les côtés d'un triangle.

L'inégalité triangulaire donne la règle qui permet de le savoir avant de tracer. Elle fait partie des notions de géométrie travaillées en cinquième, comme la somme des angles d'un triangle ³. Elle fait aussi le lien entre un triangle et les trois longueurs qui servent à le construire ³.

Dans ce cours, tu vas :

• comprendre l'idée avec un trajet du quotidien ;
• énoncer précisément la propriété ;
• apprendre une méthode rapide pour tester trois longueurs ;
• repérer le cas du triangle plat ;
• éviter les erreurs que font souvent les élèves.

Imagine que tu dois aller d'un point $A$ à un point $B$. Première option : tu avances en ligne droite. Seconde option : tu fais un crochet par un point $C$ situé hors de cette ligne. Lequel des deux trajets est le plus long ? Celui du crochet, bien sûr.

Voilà l'idée de l'inégalité triangulaire. Dans le plan, la route la plus courte entre deux points est la ligne droite : passer par un troisième point non aligné avec eux rallonge toujours le parcours ⁴.

Lis bien : il y a trois inégalités, une par côté. Chaque côté doit être comparé à la somme des deux autres. Pour un triangle $ABC$ dessiné, elles sont toujours vraies. On les écrit avec le signe $\leqslant$ parce que le cas d'égalité existe : c'est le triangle plat, dont on parle plus bas.

On peut lire l'inégalité dans l'autre sens. Dans un triangle, la longueur d'un côté est aussi supérieure à la différence des longueurs des deux autres côtés ⁴. On obtient alors un encadrement.

Si deux côtés mesurent $a$ et $b$ (avec $a \geqslant b$), le troisième côté $c$ vérifie :

$a - b \leqslant c \leqslant a + b$

Pourquoi suffit-il de regarder le plus grand côté ? Parce que les deux autres inégalités sont automatiquement vraies. Si $c$ est la plus grande longueur, alors $a \leqslant c$, donc $a \leqslant c + b$. De même pour $b$. La seule inégalité qui peut échouer est celle qui concerne $c$.

Prenons $4$ cm, $5$ cm et $9$ cm. On trace un segment $[AB]$ de $9$ cm. Pour placer le sommet $C$, on trace un cercle de centre $A$ et de rayon $4$ cm, puis un cercle de centre $B$ et de rayon $5$ cm. Les deux cercles se touchent en un seul point, situé sur le segment $[AB]$. Le point $C$ est donc aligné avec $A$ et $B$ : on ne dessine pas un vrai triangle, il est plat ².

La construction d'un triangle revient bien à chercher l'intersection de deux cercles ². Avec $4$ cm, $5$ cm et $10$ cm, les deux cercles ne se rencontrent même pas : on ne peut pas construire le triangle.

L'inégalité triangulaire sert d'abord à éviter de tracer pour rien : on teste les longueurs, puis on construit. Elle sert aussi à raisonner sur des distances : si tu connais $AB$ et $BC$, tu peux dire dans quel intervalle se trouve $AC$.

De façon plus abstraite, elle exprime que la distance directe est la plus courte possible. Les mathématiciens l'exigent même de toute bonne définition de distance ⁴. Au collège, retiens surtout l'idée simple : un détour ne raccourcit jamais un trajet.