Mathématiques · 5e
Inégalité triangulaire : quiz de 5e
Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Dans un triangle, chaque côté est plus petit que la somme des deux autres 4.
- Pour tester trois longueurs, compare la plus grande à la somme des deux autres.
- Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres, le triangle est plat et ne se construit pas 2.
- Un côté est aussi plus grand que la différence des deux autres 4.
Avant de commencer
Quiz
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Un côté est inférieur à la somme des deux autres 4. Les autres propositions disent l'inverse : un côté ne peut pas dépasser le trajet fait en passant par le troisième sommet, ni l'égaler sans que le triangle soit plat.
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La plus grande longueur est 8 cm et la somme des deux autres vaut 7 cm, ce qui est inférieur : le triangle n'existe pas. Avoir trois longueurs différentes n'empêche pas de construire un triangle (il est alors scalène), et la somme totale n'a aucun rôle dans le test.
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La plus grande longueur est 10 cm, et 5 + 6 = 11 est strictement supérieur à 10. La condition est remplie. L'erreur tentante serait de comparer 10 à 5 seulement, ce qui ne dit rien.
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Ici 4 + 5 = 9 : c'est le cas d'égalité. Les deux petits côtés posés bout à bout recouvrent exactement le grand côté, donc les sommets sont alignés et le triangle est plat 2. Un « triangle très aplati » aurait une somme strictement plus grande que le grand côté.
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Le troisième côté doit être strictement inférieur à 7 + 4 = 11 cm. Le plus grand entier possible est donc 10 cm. Choisir 11 donnerait un triangle plat.
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Le grand côté 7 cm doit être strictement inférieur à 4 + x, donc x est strictement supérieur à 3. Le plus petit entier possible est 4 cm. Avec 3 cm, on aurait 3 + 4 = 7 : triangle plat. Le côté cherché est donc plus grand que la différence 7 − 4 4.
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Pour 2 ; 3 ; 4 : 2 + 3 = 5 > 4, c'est bon. Pour 5 ; 5 ; 9 : 5 + 5 = 10 > 9, c'est bon. Pour 1 ; 2 ; 3 : 1 + 2 = 3, égalité donc triangle plat. Pour 2 ; 2 ; 5 : 2 + 2 = 4 < 5, impossible.
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Si la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres, les deux autres inégalités sont forcément vraies, puisque chacun des deux autres côtés est plus petit que le grand ou égal à lui. Comparer la plus petite longueur ne prouve rien : elle est toujours inférieure à la somme des deux autres.
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C'est l'idée de l'inégalité triangulaire : aller directement de A à B est plus court que passer par un point C qui n'est pas sur la droite 4.
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Le détour mesure 5 + 9 = 14 km, le trajet direct 12 km, soit 14 − 12 = 2 km de plus. Le détour est plus long, comme l'annonce l'inégalité triangulaire 4. Ces longueurs forment bien un triangle, car 12 < 14.
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BC doit être inférieur à 6 + 10 = 16 cm et supérieur à 10 − 6 = 4 cm 4. Les bornes 4 et 16 correspondent à un triangle plat, donc elles sont exclues. L'intervalle 6 à 10 est une erreur courante : rien n'oblige BC à être compris entre les deux autres côtés.
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Avec 3, 5 et 8, on a 3 + 5 = 8 : cas d'égalité, donc triangle plat 2. Être plus petit que 8 est normal pour un côté et ne suffit pas à exclure le triangle. Être compris entre 3 et 8 n'est pas la bonne condition.
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Ici 3 + 3 = 6 : égalité, donc le triangle est plat et ne se construit pas. Avoir deux côtés égaux ne dispense pas du test : il faut toujours comparer le grand côté à la somme des deux autres.
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La plus grande longueur vaut 6 et la somme des deux autres vaut 12, strictement plus grande : le triangle existe (il est équilatéral). Aucune mesure d'angle n'est nécessaire pour ce test.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi ne faut-il comparer que la plus grande longueur à la somme des deux autres ?
Les deux autres comparaisons sont automatiquement vraies. Si est la plus grande longueur et que , alors et de même pour . Tu fais donc un seul calcul au lieu de trois.
Que se passe-t-il quand la somme de deux côtés est égale au troisième ?
Les trois points sont alignés : le triangle est plat et ne se construit pas 2. C'est pourquoi l'inégalité du cours est stricte pour un vrai triangle : un côté est strictement plus petit que la somme des deux autres.
Sources
Programme visé : Programme de mathématiques - Cycle 4 (5e) - Géométrie et triangles · Éduscol (Ministère de l'Éducation Nationale)
- Programme de mathématiques - Cycle 4 (5e) - Géométrie et triangles, Éduscol (Ministère de l'Éducation Nationale). Consulté le 10 novembre 2026.
- Inégalité triangulaire - Ressource pédagogique académique, Académie de Strasbourg. Consulté le 10 novembre 2026.
- Espace et Géométrie en Cinquième, Académie de Bordeaux. Consulté le 10 novembre 2026.
- Inégalité triangulaire, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
- Inégalité de Minkowski, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
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