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Mathématiques · 5e

Inégalité triangulaire : exercices corrigés de 5e

Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Dans un triangle, chaque côté est plus court que la somme des deux autres 4.
  • Pour tester trois longueurs, compare la plus grande à la somme des deux autres.
  • Si la plus grande égale cette somme, le triangle est plat : les trois points sont alignés 2.
  • Un côté est aussi plus grand que la différence des deux autres 4.
  • Ce test dit si on peut construire un triangle à partir de trois longueurs 3.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Les premiers demandent seulement de tester trois longueurs. Les derniers t'obligent à raisonner avec des encadrements. Cherche chaque exercice sur papier avant d'ouvrir les indices, puis compare ta démarche à la correction, étape par étape.

Les exercices

Exercice 1 Un triangle à 5, 7 et 11 cm ?

★☆☆Environ 4 min

Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 55 cm, 77 cm et 1111 cm ? Donne aussi la somme des deux plus petits côtés.

Indice 1

Repère d'abord le plus grand côté.

Indice 2

Additionne les deux autres longueurs puis compare.

Voir la correction pas à pas

  1. Le plus grand côté mesure 1111 cm.

  2. Les deux autres mesurent 55 cm et 77 cm, leur somme vaut 5+7=125 + 7 = 12 cm.

  3. On compare : 11<1211 < 12, donc l'inégalité triangulaire est vérifiée pour le plus grand côté.

  4. Les deux autres inégalités sont alors vraies, puisque ces côtés sont plus courts que 1111 cm.

Le triangle existe : on peut le construire avec ces trois longueurs 3.

Exercice 2 Un triangle à 4, 4 et 9 cm ?

★☆☆Environ 4 min

Léa affirme qu'elle peut tracer un triangle de côtés 44 cm, 44 cm et 99 cm. A-t-elle raison ? Calcule la somme des deux petits côtés.

Indice 1

Quel est le plus grand côté ?

Indice 2

Compare-le à la somme des deux autres.

Voir la correction pas à pas

  1. Le plus grand côté mesure 99 cm.

  2. La somme des deux autres vaut 4+4=84 + 4 = 8 cm.

  3. On compare : 9>89 > 8, donc le plus grand côté est trop long.

  4. L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée.

Léa a tort : avec deux côtés de 44 cm, on n'atteint pas 99 cm. Les deux petits côtés ne se rejoignent pas.

Exercice 3 Le cas limite : 3, 6 et 9 cm

★☆☆Environ 5 min

On veut construire un triangle de côtés 33 cm, 66 cm et 99 cm. Que se passe-t-il ? Donne la somme des deux plus petits côtés.

Indice 1

Calcule la somme 3+63 + 6.

Indice 2

Que devient la figure si les deux petits côtés se placent bout à bout sur le grand ?

Voir la correction pas à pas

  1. Le plus grand côté mesure 99 cm.

  2. La somme des deux autres vaut 3+6=93 + 6 = 9 cm.

  3. On a donc une égalité : 9=99 = 9, et non une inégalité stricte.

  4. Les deux petits côtés posés bout à bout recouvrent exactement le grand côté : le troisième sommet se trouve sur le segment.

Le triangle est plat : les trois points sont alignés et la figure n'est pas un vrai triangle 2.

Exercice 4 Combien de longueurs possibles ?

★★☆Environ 8 min

Un triangle a deux côtés de 77 cm et 44 cm. Le troisième côté mesure un nombre entier de centimètres. Combien de valeurs sont possibles ?

Indice 1

Le troisième côté doit être plus petit que la somme des deux autres.

Indice 2

Il doit aussi être plus grand que leur différence.

Voir la correction pas à pas

  1. Appelle cc la longueur du troisième côté, en cm.

  2. Le côté cc est plus court que la somme des deux autres : c<7+4=11c < 7 + 4 = 11.

  3. Le côté de 77 cm est plus court que c+4c + 4, donc c>7−4=3c > 7 - 4 = 3.

  4. On obtient 3<c<113 < c < 11 (le côté de 44 cm donne une condition moins forte).

  5. Les entiers possibles sont 4,5,6,7,8,9,104, 5, 6, 7, 8, 9, 10 : cela fait 77 valeurs.

Il y a 77 valeurs entières possibles pour le troisième côté. La différence des deux côtés connus donne la borne basse, leur somme la borne haute 4.

Exercice 5 Triangle isocèle de côtés 5 et 12

★★☆Environ 8 min

Un triangle isocèle a un côté de 55 cm et un côté de 1212 cm. Quel est son périmètre ? Attention : deux configurations sont à examiner.

Indice 1

Premier cas : les deux côtés égaux mesurent 55 cm. Second cas : ils mesurent 1212 cm.

Indice 2

Teste l'inégalité triangulaire dans chaque cas.

Voir la correction pas à pas

  1. Premier cas : côtés 55, 55 et 1212. La somme des deux petits vaut 5+5=105 + 5 = 10.

  2. Or 12>1012 > 10 : ce triangle n'existe pas.

  3. Second cas : côtés 1212, 1212 et 55. Le plus grand côté mesure 1212 et la somme des deux autres vaut 12+5=1712 + 5 = 17.

  4. Comme 12<1712 < 17, ce triangle existe.

  5. Son périmètre vaut 12+12+5=2912 + 12 + 5 = 29 cm.

Seul le second cas est possible : le périmètre est de 2929 cm. Ici, l'inégalité triangulaire sert à éliminer une configuration.

Exercice 6 Trois points A, B et C

★★☆Environ 8 min

On a AB=6AB = 6 cm et BC=2,5BC = 2{,}5 cm. On place C de façon que A, B et C forment un triangle, et la longueur ACAC est un nombre entier de centimètres. Combien de valeurs possibles pour ACAC ?

Indice 1

Écris l'encadrement a−b<c<a+ba-b < c < a+b avec a=6a = 6 et b=2,5b = 2{,}5.

Indice 2

Liste ensuite les entiers strictement compris entre les deux bornes.

Voir la correction pas à pas

  1. Calcule la somme : 6+2,5=8,56 + 2{,}5 = 8{,}5, donc AC<8,5AC < 8{,}5.

  2. Calcule la différence : 6−2,5=3,56 - 2{,}5 = 3{,}5, donc AC>3,5AC > 3{,}5.

  3. On a 3,5<AC<8,53{,}5 < AC < 8{,}5.

  4. Les entiers possibles sont 4,5,6,7,84, 5, 6, 7, 8 : cela fait 55 valeurs.

Il y a 55 longueurs entières possibles pour ACAC. Les bornes 3,53{,}5 et 8,58{,}5 elles-mêmes ne sont pas atteintes, sinon les trois points seraient alignés 2.

Exercice 7 Périmètre fixé à 24 cm

★★★Environ 12 min

Un triangle a un périmètre de 2424 cm et ses côtés mesurent des nombres entiers de centimètres. Quelle est la plus grande longueur entière que peut avoir l'un de ses côtés ? Donne un exemple de triangle qui l'atteint.

Indice 1

Appelle cc le plus grand côté et aa, bb les deux autres : a+b+c=24a + b + c = 24.

Indice 2

Utilise l'inégalité triangulaire pour cc et remplace a+ba + b par 24−c24 - c.

Voir la correction pas à pas

  1. On a a+b=24−ca + b = 24 - c.

  2. L'inégalité triangulaire donne c<a+bc \lt a + b, soit c<24−cc \lt 24 - c.

  3. On en déduit 2c<242c \lt 24, donc c<12c \lt 12.

  4. Comme cc est entier, la plus grande valeur possible est c=11c = 11.

  5. Vérification : il reste a+b=13a + b = 13. Avec a=6a = 6 et b=7b = 7, on a bien 11<1311 \lt 13. Les côtés 66, 77 et 1111 forment un triangle.

Aucun côté ne peut atteindre la moitié du périmètre, soit 1212 cm. Le maximum entier est 1111 cm.

Les questions qu'on se pose

Dois-je vérifier les trois inégalités à chaque fois ?

Non. Il suffit de vérifier celle du plus grand côté : il doit être plus court que la somme des deux autres. Si c'est le cas, les deux autres côtés sont forcément plus courts que la somme des deux restants, puisqu'ils sont plus petits que le plus grand. Les trois inégalités existent bien 4, mais une seule demande un vrai calcul.

Que faire quand la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres ?

Le triangle est plat : les trois points sont alignés 2. On ne peut donc pas tracer un vrai triangle avec ces longueurs. Dans un exercice, écris que l'inégalité n'est pas strictement vérifiée et que le triangle n'existe pas.

À quoi sert l'inégalité triangulaire ?

Elle permet de savoir à l'avance si l'on peut construire un triangle à partir de trois longueurs 3. Elle sert aussi à encadrer une longueur inconnue et à comparer des trajets : passer par un troisième point n'est jamais plus court que d'aller tout droit 4.

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques - Cycle 4 (5e) - Géométrie et triangles · Éduscol (Ministère de l'Éducation Nationale)

  1. Programme de mathématiques - Cycle 4 (5e) - Géométrie et triangles, Éduscol (Ministère de l'Éducation Nationale). Consulté le 10 novembre 2026.
  2. Inégalité triangulaire - Ressource pédagogique académique, Académie de Strasbourg. Consulté le 10 novembre 2026.
  3. Espace et Géométrie en Cinquième, Académie de Bordeaux. Consulté le 10 novembre 2026.
  4. Inégalité triangulaire, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.
  5. Inégalité de Minkowski, Wikipédia. Consulté le 10 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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