Publié le 10 novembre 2026 · Mis à jour le 10 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180° (un angle plat) 2.
Pour trouver le 3e angle : on additionne les deux angles connus, puis on soustrait le total à 180°1.
La preuve repose sur une parallèle à un côté, tracée par le sommet opposé 2.
Un triangle a au plus un angle obtus2 ; les angles d'un triangle équilatéral mesurent 60° chacun.
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut 90° 3.
Pourquoi s'intéresser aux angles d'un triangle ?
Un triangle a trois côtés et trois angles. Quand on connaît deux de ces angles, peut-on deviner le troisième sans le mesurer ? Oui, et c'est ce que ce cours t'apprend à faire.
Ce résultat fait partie du programme : on attend que tu saches l'énoncer, calculer le troisième angle d'un triangle quand tu connais les deux autres, et en comprendre la démonstration 1. C'est un outil de base de la géométrie. Il sert souvent dans la suite : construire un triangle, résoudre des problèmes de géométrie, ou encore savoir si un triangle est possible.
Dans ce cours, nous allons procéder ainsi :
énoncer la propriété avec précision ;
la démontrer pas à pas ;
apprendre à calculer un angle manquant ;
étudier les cas particuliers (rectangle, équilatéral, isocèle) ;
repérer les erreurs fréquentes.
L'énoncé de la propriété
Ce résultat est connu depuis l'Antiquité : Euclide l'a démontré dans ses Éléments2. Il vaut pour tous les triangles, quelle que soit leur forme : petit ou grand, pointu ou aplati. Si tu dessines un triangle très allongé, ses angles seront très différents les uns des autres, mais leur total fera toujours 180°.
On dit que la somme des angles est un invariant : elle ne change pas d'un triangle à l'autre 2. C'est ce qui rend la propriété si pratique pour résoudre de petits problèmes.
Démonstration avec une parallèle
Mesurer ne prouve rien : on ne peut pas mesurer tous les triangles. Il faut un raisonnement. La preuve classique, qui remonte à Euclide, consiste à tracer une droite parallèle à un côté du triangle, passant par le sommet qui n'est pas sur ce côté 2. Elle s'appuie donc sur les propriétés des droites parallèles 2.
Démonstration · Démonstration
Soit un triangle ABC. On trace la droite (d) parallèle à (BC) passant par A. Place deux points D et E sur (d), de part et d'autre de A, avec D du côté de B et E du côté de C.
Les droites (DE) et (BC) sont parallèles, et la droite (AB) les coupe. Les angles DAB et ABC sont alternes-internes, donc égaux : DAB=B.
De même, la droite (AC) coupe les deux parallèles. Les angles EAC et ACB sont alternes-internes, donc égaux : EAC=C.
Les trois angles DAB, BAC et CAE se placent côte à côte au sommet A et forment ensemble l'angle plat DAE, qui mesure 180°.
On remplace : B+A+C=180∘.
La somme des angles du triangle vaut donc 180°.
Calculer un angle manquant
Les triangles particuliers
Angles des triangles particuliers
Triangle
Angles
Somme
Quelconque
a, b, c
180°
Rectangle
90°, b, c avec b + c = 90°
180°
Rectangle isocèle
90°, 45°, 45°
180°
Équilatéral
60°, 60°, 60°
180°
Angles des triangles particuliers · Dans chaque cas, le total reste 180°.
Conséquences utiles
Rédiger une justification complète
En 5e, un calcul d'angle doit toujours être justifié. Une bonne rédaction suit un schéma en trois temps : on dit ce que l'on sait, on dit la propriété utilisée, on calcule et conclut.
Exercices corrigés
Exercice 1 Calculer le troisième angle
★☆☆Environ 5 min
Dans le triangle ABC, A=47∘ et B=68∘. Calcule la mesure de C.
Indice 1
Quelle est la somme des trois angles d'un triangle ?
Voir la correction pas à pas
Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°.
On additionne les angles connus : 47+68=115.
On soustrait à 180 : 180−115=65.
L'angle C mesure 65°.
On vérifie : 47+68+65=180.
Exercice 2 Triangle isocèle
★★☆Environ 8 min
Un triangle isocèle MNP a son angle au sommet principal M=40∘. Les deux angles à la base, N et P, sont égaux. Calcule la mesure de N.
Indice 1
Les deux angles de base ont la même mesure : appelle-la x.
Indice 2
Écris une équation avec la somme de 180°.
Voir la correction pas à pas
Notons x la mesure commune de N et P.
La somme des angles vaut 180° : 40+x+x=180.
Donc 2x=140.
Donc x=70.
L'angle N mesure 70°.
Vérification : 40+70+70=180.
Exercice 3 Des angles dans un rapport donné
★★★Environ 10 min
Les mesures des angles d'un triangle sont x, 2x et 3x (en degrés). Calcule la mesure du plus petit angle. Ce triangle est-il rectangle ?
Indice 1
Écris l'équation x+2x+3x=180.
Indice 2
Calcule ensuite les trois angles et regarde s'il y en a un de 90°.
Voir la correction pas à pas
La somme des angles vaut 180° : x+2x+3x=180.
On regroupe : 6x=180.
On divise : x=30.
Les angles mesurent 30°, 60° et 90°.
Un angle mesure 90°, donc le triangle est rectangle.
Le plus petit angle mesure 30°, et le triangle est rectangle, car il possède un angle droit.
Quiz
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La somme vaut 180°, mesure d'un angle plat. 360° est tentant, mais c'est le tour complet, ou la somme des angles d'un quadrilatère, pas celle d'un triangle.
On calcule 180−(55+75)=180−130=50. L'erreur classique est de répondre 130°, qui n'est que la somme des deux angles connus.
L'angle droit prend 90°, il reste 90° à partager entre les deux autres : ils sont complémentaires. 180° est faux, car c'est le total des trois angles. 45° n'est la valeur de chaque angle que dans le cas rectangle isocèle.
C'est faux : deux angles obtus dépassent chacun 90°, donc leur somme dépasse 180°, ce qui est impossible. Il reste d'ailleurs encore un troisième angle strictement positif.
Les trois angles sont égaux et leur somme vaut 180°, donc chacun vaut 180÷3=60. 45° concerne le triangle rectangle isocèle, pas l'équilatéral.
Il reste 180−100=80 à partager entre deux angles égaux : 80÷2=40. Répondre 80° oublie le partage entre les deux angles de base.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi la somme des angles d'un triangle fait-elle toujours 180° ?
Parce qu'on peut tracer par un sommet la parallèle au côté opposé : les angles alternes-internes égaux viennent alors se placer à côté du troisième angle et forment un angle plat de 180° 2. Cette preuve fonctionne pour tout triangle du plan.
Peut-on utiliser la propriété si je n'ai que la figure sans les mesures ?
Il faut connaître au moins deux angles, ou avoir une information qui les relie (triangle isocèle, rectangle, équilatéral). Avec cette information tu poses une équation et tu trouves les angles manquants.
Comment savoir si je dois faire 180° ou 90° ?
Si tu cherches un angle dans un triangle quelconque, pars de 180° et retire les deux autres. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus font 90° à eux deux 3 : tu peux donc retirer directement l'angle connu de 90°.
Comment rédiger la réponse pour avoir tous les points ?
Écris trois choses : la propriété utilisée (« la somme des angles d'un triangle vaut 180° »), le calcul avec les nombres de l'énoncé, puis une phrase de conclusion avec l'unité.