Équations du premier degré : cours de CAP

Dans ta vie professionnelle comme dans la vie courante, tu rencontres des situations où une quantité est inconnue : le nombre d'heures facturées, le prix d'une pièce, la longueur d'une planche à découper. Une équation sert à retrouver cette quantité à partir de ce que tu connais déjà.

Dans ce cours, tu apprends à résoudre les équations du premier degré, une notion qui suit directement les expressions littérales. Tu dois donc savoir réduire une expression comme $3x + 5x$ et développer un produit comme $2(x+4)$. Cette notion prépare ensuite l'étude des fonctions affines, où l'on cherche aussi des valeurs qui vérifient une égalité.

Les deux membres de l'égalité s'appellent le membre de gauche (avant le signe $=$) et le membre de droite (après). Une équation est comme une phrase qui peut être vraie ou fausse selon la valeur de $x$ : pour $2x+3=9$, la phrase est vraie si $x=3$ et fausse pour $x=5$.

Imagine une balance à deux plateaux en équilibre. À gauche, il y a une masse inconnue $x$ et trois masses de 1 kg ; à droite, une masse de 9 kg. Si tu retires 3 kg des deux plateaux, la balance reste équilibrée. C'est exactement ce qu'on fait avec une équation : tout ce qu'on fait d'un côté, on le fait de l'autre.

La forme la plus courante est $ax + b = c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres connus et $a$ est différent de 0. La logique est de défaire les opérations dans l'ordre inverse de celui où elles ont été appliquées à $x$ : $x$ a d'abord été multiplié par $a$, puis on a ajouté $b$. On commence donc par enlever $b$, puis on divise par $a$.

Souvent, $x$ figure dans les deux membres, comme dans $5x - 7 = 2x + 11$. Il faut alors rassembler tous les termes en $x$ d'un côté et tous les nombres de l'autre. S'il y a des parenthèses, on commence par développer puis réduire chaque membre.

Vérifier est un réflexe professionnel : un bon technicien contrôle sa mesure avant de découper. En mathématiques, la vérification consiste à remplacer l'inconnue par la valeur trouvée dans l'équation de départ (pas dans une étape intermédiaire) et à calculer chaque membre séparément.

En CAP, on te demande de modéliser un problème par une équation du premier degré à une inconnue, puis de la résoudre.¹ La difficulté n'est pas le calcul, c'est la traduction du texte en mathématiques.

Résoudre des problèmes du premier degré est une activité très ancienne. Elle a commencé avec des algorithmes babyloniens et égyptiens, puis s'est poursuivie au Moyen Âge avec des méthodes dites de fausse position, ou avec une résolution directe chez les mathématiciens arabes, avant l'arrivée des méthodes modernes qui utilisent un symbolisme de lettres.²

Le mot algèbre vient d'ailleurs de cette tradition : au IXe siècle, Al-Khwarizmi a écrit un ouvrage où il étudie systématiquement les équations ; le mot arabe « al-jabr » (restauration) qui figure dans son titre a donné son nom à l'algèbre.³ L'idée de « restaurer » correspond à ce que tu fais en ajoutant un même terme aux deux membres pour supprimer un terme négatif.