Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Tangente à une courbe : exercices corrigés de 1re technologique

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La tangente en un point est la position limite des sécantes qui passent par ce point ¹.
Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ ¹.
Équation réduite de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ , soit $y = mx + p$ ¹.
Pour la construire : placer le point $(a\,;\,f(a))$ , puis avancer de 1 en abscisse et de $f'(a)$ en ordonnée.
Vérifie toujours qu'un point appartient à la courbe en remplaçant son abscisse dans $f$ .

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices suivent la progression du chapitre. Tu commences par lire un coefficient directeur sur un graphique, tu continues avec le calcul de l'équation d'une tangente, puis tu finis par des questions qui mélangent plusieurs idées. Cherche chaque énoncé sur papier, avec un brouillon, avant d'ouvrir les indices. Les corrections ne servent qu'à comparer ta démarche, pas à la recopier.

Démonstration · D'où vient la formule ?

La tangente est une droite de coefficient directeur $m = f'(a)$ , donc son équation s'écrit $y = mx + p$ . Elle passe par le point de contact $A(a\,;\,f(a))$ , donc $f(a) = m\,a + p$ , ce qui donne $p = f(a) - m\,a$ . En remplaçant : $y = mx + f(a) - ma = m(x-a) + f(a)$ .

Construire une tangente sans calcul compliqué

Construire la tangente à une courbe en un point fait partie des capacités attendues ¹. Si tu connais $f'(a)$ , place le point de contact, puis déplace-toi d'une unité vers la droite et de $f'(a)$ unités verticalement (vers le haut si c'est positif, vers le bas si c'est négatif). Tu obtiens un second point, et la droite qui passe par les deux est la tangente.

Vérifier ses résultats avant de passer à la suite

Une équation de tangente se contrôle en quelques secondes, et ce réflexe évite beaucoup de points perdus à l'épreuve. Prends l'habitude de t'arrêter une minute après chaque calcul : un résultat non vérifié reste un résultat fragile. Deux vérifications suffisent presque toujours, et elles ne demandent aucun calcul compliqué.

Les exercices

Exercice 1 Lire une pente sur le graphique

★☆☆Environ 5 min

Sur le graphique d'une fonction $f$ , on a tracé la tangente $T$ à la courbe au point $A(1\,;\,4)$ . Cette droite passe aussi par le point $B(3\,;\,8)$ .

Calcule le coefficient directeur de $T$ .
En déduire $f'(1)$ .
Donne l'équation réduite de $T$ .

Indice 1

Le coefficient directeur se calcule avec $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ .

Indice 2

Le nombre dérivé en 1 est le coefficient directeur de la tangente en 1.

Voir la correction pas à pas

Variation verticale : $8-4 = 4$ . Variation horizontale : $3-1 = 2$ .
Coefficient directeur : $\frac{4}{2} = 2$ .
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1, donc $f'(1) = 2$ ¹.
Équation : $y = 2(x-1) + 4 = 2x - 2 + 4 = 2x + 2$ .
Contrôle : pour $x = 3$ , $2\times 3 + 2 = 8$ , ce qui est bien l'ordonnée de $B$ .

Le coefficient directeur vaut 2, donc $f'(1) = 2$ et la tangente a pour équation $y = 2x+2$ .

Exercice 2 Équation d'une tangente à partir de deux valeurs

★☆☆Environ 6 min

Une fonction $f$ vérifie $f(2) = 5$ et $f'(2) = 3$ .

Écris l'équation réduite de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 2.
Quelle est l'ordonnée à l'origine de cette tangente ?

Indice 1

Applique $y = f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $a = 2$ .

Indice 2

Développe pour reconnaître la forme $y = mx+p$ .

Voir la correction pas à pas

Ici $a = 2$ , $f(a) = 5$ et $f'(a) = 3$ .
On écrit $y = 3(x-2) + 5$ .
On développe : $y = 3x - 6 + 5 = 3x - 1$ .
L'ordonnée à l'origine est le nombre $p$ de la forme $y = mx+p$ , donc $p = -1$ .

La tangente a pour équation $y = 3x - 1$ et coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,-1)$ .

Exercice 3 Un point est-il sur la courbe ?

★☆☆Environ 8 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 3x + 1$ . On admet que $f'(4) = 5$ .

Calcule l'ordonnée du point $A$ de la courbe d'abscisse 4.
Le point $M(2\,;\,-1)$ appartient-il à la courbe ?
Détermine l'équation réduite de la tangente en $A$ et son ordonnée à l'origine.

Indice 1

Un point appartient à la courbe si ses coordonnées vérifient $y = f(x)$ ¹.

Indice 2

Calcule d'abord $f(4)$ avant d'écrire la tangente.

Voir la correction pas à pas

$f(4) = 4^2 - 3\times 4 + 1 = 16 - 12 + 1 = 5$ , donc $A(4\,;\,5)$ .
Pour $M$ : $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$ . L'ordonnée de $M$ est bien $-1$ , donc $M$ est sur la courbe.
Tangente en $A$ : $y = 5(x-4) + 5$ .
On développe : $y = 5x - 20 + 5 = 5x - 15$ .
L'ordonnée à l'origine est donc $-15$ .

La tangente en $A(4\,;\,5)$ a pour équation $y = 5x - 15$ ; le point $M$ est sur la courbe.

Exercice 4 Où la tangente coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x) = -x^2 + 4x$ . On admet que $f'(1) = 2$ .

Calcule $f(1)$ .
Écris l'équation réduite de la tangente $T$ au point d'abscisse 1.
Détermine l'abscisse du point où $T$ coupe l'axe des abscisses.

Indice 1

Un point de l'axe des abscisses a une ordonnée nulle.

Indice 2

Résous l'équation $2x + 1 = 0$ une fois la tangente trouvée.

Voir la correction pas à pas

$f(1) = -1 + 4 = 3$ , donc le point de contact est $(1\,;\,3)$ .
$y = 2(x-1) + 3 = 2x - 2 + 3 = 2x + 1$ .
On cherche $y = 0$ : $2x + 1 = 0$ , d'où $2x = -1$ .
Donc $x = -\frac{1}{2} = -0{,}5$ .
Contrôle : $2\times(-0{,}5) + 1 = 0$ .

La tangente $T$ a pour équation $y = 2x+1$ et coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $-0{,}5$ .

Exercice 5 Retrouver f(3) grâce à la tangente

★★☆Environ 8 min

La tangente à la courbe d'une fonction $f$ au point d'abscisse 3 a pour équation $y = -2x + 7$ .

Donne la valeur de $f'(3)$ .
Calcule $f(3)$ .
La tangente est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.

Indice 1

La tangente et la courbe ont le même point au point de contact.

Indice 2

Le coefficient directeur est le nombre devant $x$ .

Voir la correction pas à pas

Le coefficient directeur de la tangente est $-2$ , donc $f'(3) = -2$ ¹.
Le point de contact $(3\,;\,f(3))$ est sur la tangente, donc $f(3) = -2\times 3 + 7$ .
$f(3) = -6 + 7 = 1$ .
Le coefficient directeur $-2$ est négatif : la droite descend quand on avance vers la droite, elle est décroissante.

On obtient $f'(3) = -2$ et $f(3) = 1$ ; la tangente est une droite décroissante.

Exercice 6 Des sécantes vers la tangente

★★★Environ 12 min

Soit $f(x) = x^2 + x$ . On considère le point $A(2\,;\,6)$ de la courbe et le point $M$ d'abscisse $2+h$ , avec $h \neq 0$ .

Vérifie que $A$ appartient à la courbe.
Calcule le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ pour $h = 0{,}1$ .
Montre que ce coefficient vaut $5 + h$ pour tout $h \neq 0$ , puis explique ce qui se passe quand $h$ se rapproche de 0.

Indice 1

Le coefficient directeur d'une sécante est $\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ .

Indice 2

Développe $(2+h)^2$ avec une identité remarquable.

Voir la correction pas à pas

$f(2) = 4 + 2 = 6$ , donc $A(2\,;\,6)$ est bien sur la courbe.
Pour $h = 0{,}1$ : $f(2{,}1) = 4{,}41 + 2{,}1 = 6{,}51$ .
Coefficient : $\frac{6{,}51 - 6}{0{,}1} = \frac{0{,}51}{0{,}1} = 5{,}1$ .
Cas général : $f(2+h) = (2+h)^2 + 2 + h = 4 + 4h + h^2 + 2 + h = 6 + 5h + h^2$ .
Donc $\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h$ .
Quand $h$ se rapproche de 0, le point $M$ se rapproche de $A$ , les sécantes se rapprochent de la tangente, et leur coefficient se rapproche de 5 ¹. Ainsi $f'(2) = 5$ .

Le coefficient de la sécante vaut $5+h$ ; pour $h = 0{,}1$ il vaut $5{,}1$ , et il tend vers 5, qui est le nombre dérivé en 2.

Exercice 7 Un problème complet

★★★Environ 12 min

On reprend $f(x) = x^2 + x$ et $f'(2) = 5$ .

Détermine l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse 2.
Détermine l'abscisse du point où $T$ coupe l'axe des abscisses.
Le point $P(1\,;\,1)$ est-il sur $T$ ? Est-il sur la courbe ?

Indice 1

Le point de contact est $(2\,;\,f(2))$ .

Indice 2

Pour savoir si un point est sur une droite ou une courbe, remplace ses coordonnées dans l'équation.

Voir la correction pas à pas

$f(2) = 6$ et $f'(2) = 5$ , donc $y = 5(x-2) + 6$ .
On développe : $y = 5x - 10 + 6 = 5x - 4$ .
On résout $5x - 4 = 0$ , d'où $x = \frac{4}{5} = 0{,}8$ .
Pour $P$ sur $T$ : $5\times 1 - 4 = 1$ , donc $P$ est sur $T$ .
Pour $P$ sur la courbe : $f(1) = 1 + 1 = 2$ , qui est différent de 1, donc $P$ n'est pas sur la courbe.

La tangente a pour équation $y = 5x-4$ et coupe l'axe des abscisses en $0{,}8$ ; le point $P$ est sur la tangente mais pas sur la courbe.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser $f(a)$ ou $f'(a)$ dans l'équation ?

Pose-toi la question : cherches-tu une hauteur ou une pente ? $f(a)$ est l'ordonnée du point de contact. $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente ¹. Dans $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ , la pente multiplie $(x-a)$ et l'ordonnée du point s'ajoute à la fin.

La tangente peut-elle être horizontale ?

Oui. Si $f'(a) = 0$ , le coefficient directeur est nul et l'équation devient $y = f(a)$ . Dans ce cas la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, et le calcul se fait comme d'habitude avec $m = 0$ .

Sources

Programme visé : Programme de mathématiques de première technologique (Dérivation et tangente à une courbe) · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de mathématiques de première technologique (Dérivation et tangente à une courbe), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 11 novembre 2026.
Ressource Éduscol - Tangente et dérivation, Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Mathématiques - Croissance des enfants (ressource Éduscol), Éduscol. Consulté le 11 novembre 2026.
Manuel Première Sesamath 2019 - Nombre dérivé et tangente (pages 124-125), Sesamath. Consulté le 11 novembre 2026.

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Comment utiliser ces exercices

Construire une tangente sans calcul compliqué

Vérifier ses résultats avant de passer à la suite

Les exercices

Exercice 1 Lire une pente sur le graphique

Exercice 2 Équation d'une tangente à partir de deux valeurs

Exercice 3 Un point est-il sur la courbe ?

Exercice 4 Où la tangente coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

Exercice 5 Retrouver f(3) grâce à la tangente

Exercice 6 Des sécantes vers la tangente

Exercice 7 Un problème complet

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur