Courbes et coniques : cours de Première technologique

Autour de toi, les courbes sont partout : l'arche d'un pont, le bord d'un abat-jour, la trajectoire d'un ballon, le contour d'une assiette vue de biais. En série STD2A, tu dessines, tu modélises et tu construis des formes. Savoir nommer une courbe, reconnaître ses éléments (axe de symétrie, sommet, foyer) et tracer sa tangente te donne des outils précis pour passer d'une idée à un dessin exact.

Ce cours répond à trois questions. D'où viennent les coniques ? Comment décrit-on une courbe par une équation ? Comment trace-t-on la droite qui « touche » une courbe en un point ?

Tu t'appuies sur ce que tu connais déjà : les représentations planes de l'espace, la perspective et les transformations du plan. Le lien est direct. Une conique naît d'un solide (un cône) coupé par un plan, et on la dessine ensuite sur une feuille. Pour la tangente, tu réutilises les droites, leur coefficient directeur et leur équation réduite.

Pour te représenter la situation, prends une lampe de poche dont le faisceau forme un cône de lumière. Éclaire un mur : la tache lumineuse a la forme d'une conique. Selon l'inclinaison de la lampe par rapport au mur, la tache change de forme. Elle peut être un disque, un ovale allongé ou une courbe ouverte. Le mur joue le rôle du plan de coupe.

Pourquoi ce lien avec le cône est-il utile ? Parce qu'il explique que le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole sont de la même famille. Ce ne sont pas quatre courbes sans rapport : ce sont les différentes coupes d'un même solide. En faisant pivoter le plan de coupe, tu passes progressivement de l'une à l'autre.

Un paramètre réel, l'excentricité, caractérise ces courbes ⁵. Retiens ici une idée simple : ce nombre mesure à quel point la courbe s'écarte d'un cercle. La valeur de l'excentricité indique de quelle forme de conique il s'agit.

Regardons chaque forme de plus près. Pour chacune, on cherche des éléments caractéristiques : l'allure générale, l'axe de symétrie, les coordonnées du sommet. Le programme demande de les relier à la symétrie de la courbe ³.

Le cercle est à part : il a une infinité d'axes de symétrie, puisque toute droite passant par son centre est un axe de symétrie. C'est pourquoi on ne lui attribue pas un axe principal unique.

La parabole est la plus familière en lycée, car c'est la courbe représentative d'une fonction du second degré, par exemple $f(x)=x^2$. Elle a un axe de symétrie vertical et un sommet, point où la courbe change de sens. Pour $f(x)=x^2$, l'axe est l'axe des ordonnées et le sommet est l'origine $O(0\,;\,0)$. Le programme demande justement de lire ces éléments sur une courbe, en lien avec la symétrie ³.

Il existe une seconde manière de définir une conique, sans parler de cône. Elle utilise un point fixe $F$, le foyer, et une courbe directrice, qui peut être une droite $(D)$ ne contenant pas $F$.

Dans le cas d'une droite directrice, toute la figure possède un axe de symétrie : la droite qui passe par $F$ et qui est perpendiculaire à $(D)$. On l'appelle l'axe principal de la conique ⁵.

Dessiner une courbe, c'est bien. La décrire par un calcul, c'est mieux : on peut alors vérifier qu'un point est dessus sans regarder la figure. Une courbe peut être décrite par une équation cartésienne, c'est-à-dire une relation entre $x$ et $y$. Par exemple, le cercle de centre l'origine et de rayon $1$ a pour équation $x^2+y^2=1$ ⁴.

Les coniques sont des courbes planes dont l'équation est du second degré, ce qui explique le lien avec les fonctions du second degré que tu rencontres en première ⁴.

Pour comprendre comment une courbe « monte » ou « descend », on regarde une droite qui la coupe en deux points. Cette droite s'appelle une sécante.

Observe maintenant ce qui se passe quand le deuxième point se rapproche du premier. Prends toujours $A(1\,;\,1)$ sur $f(x)=x^2$ et un point $B$ d'abscisse $1+h$. Le taux de variation vaut :

$\dfrac{(1+h)^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h$

Le tableau suivant montre l'effet de la valeur de $h$ :

La pente se rapproche de $2$ à mesure que $B$ se rapproche de $A$. C'est ce nombre $2$ qui va définir la tangente.

Dans un logiciel de géométrie dynamique, tu peux visualiser cette idée : tu déplaces le second point le long de la courbe vers $A$, et tu vois la sécante pivoter puis se stabiliser sur une droite. Le programme propose cette visualisation de la position limite des sécantes ³.

Dans l'exemple précédent, les pentes des sécantes tendent vers $2$. Le nombre dérivé de $f(x)=x^2$ en $1$ est donc $2$, et la tangente en $A(1\,;\,1)$ a pour coefficient directeur $2$.

Les coniques ont aussi leur tangente. Le programme de géométrie de la voie technologique introduit la notion de tangente à une conique en un point ². L'idée reste la même que pour une courbe représentative de fonction : la tangente est la droite qui épouse la direction de la courbe au point considéré.

Prenons le cas du cercle, qui est une conique particulière ⁵. La tangente au cercle en un point $M$ est la droite qui passe par $M$ et qui est perpendiculaire au rayon $[OM]$, où $O$ est le centre. Cette règle de construction de la tangente au cercle est un résultat de géométrie plane de collège.

Autre situation du programme : le raccordement d'arcs. En dessin technique ou en design, on relie parfois un arc de cercle, un arc d'ellipse ou une courbe représentative de fonction à une autre courbe pour obtenir un tracé fluide ².

Pour t'entraîner, trace toujours la courbe et la tangente sur un repère à la main ou avec un logiciel, puis vérifie par le calcul. Le dessin et l'équation doivent raconter la même histoire : si la droite calculée ne ressemble pas à une tangente sur ta figure, cherche l'erreur de signe.