Courbes et coniques : exercices corrigés de première technologique

Le plan ne passe pas par le sommet : la conique est dite non dégénérée. ⁵

Elle prend alors l'une de ces trois formes : une ellipse, une parabole ou une hyperbole. ⁵

Le cercle n'est pas une quatrième famille à part entière : c'est un cas particulier de l'ellipse. ⁵

Pour $A$ : $3^2-2\times 3+3=9-6+3=6$. Cela égale l'ordonnée de $A$ : $A$ est sur la courbe.

Pour $B$ : $2^2-2\times 2+3=4-4+3=3$. L'ordonnée de $B$ est $4$, or $3\neq 4$ : $B$ n'est pas sur la courbe.

Pour $x=4$ : $4^2-2\times 4+3=16-8+3=11$.

Pour $(4\,;\,3)$ : $4^2+3^2=16+9=25$. Le point est sur le cercle.

Pour $(5\,;\,1)$ : $5^2+1^2=26$, différent de $25$. Le point n'est pas sur le cercle.

Pour $x=3$ : $9+y^2=25$, donc $y^2=16$.

Deux ordonnées conviennent, $4$ et $-4$ ; on garde la positive : $y=4$.

On a $f(1)=1$ et $f(4)=16$, donc $M(1\,;\,1)$ et $N(4\,;\,16)$.

Le taux de variation vaut $\dfrac{16-1}{4-1}=\dfrac{15}{3}=5$. C'est la pente de la sécante $(MN)$. ³

L'équation est de la forme $y=5x+p$. Comme $M$ est sur la droite : $1=5\times 1+p$, donc $p=-4$.

Vérification avec $N$ : $5\times 4-4=16$, ce qui correspond bien à l'ordonnée de $N$.

Pour $h=0{,}1$ : $(2{,}1)^2=4{,}41$, donc le taux est $\dfrac{4{,}41-4}{0{,}1}=4{,}1$.

Pour $h=0{,}01$ : $(2{,}01)^2=4{,}0401$, donc le taux est $\dfrac{0{,}0401}{0{,}01}=4{,}01$.

En général, $\dfrac{(2+h)^2-4}{h}=\dfrac{4h+h^2}{h}=4+h$.

Quand $h$ devient très petit, $4+h$ se rapproche de $4$.

Les sécantes en $A$ tendent vers la tangente, car celle-ci est leur position limite. Leur pente tend donc vers le coefficient directeur de la tangente, c'est-à-dire le nombre dérivé en $2$. ^{3 1}

Le taux vaut $\dfrac{(3+h)^2-9}{h}=\dfrac{9+6h+h^2-9}{h}=\dfrac{6h+h^2}{h}=6+h$.

Quand $h$ se rapproche de $0$, $6+h$ se rapproche de $6$. Le nombre dérivé en $3$ est donc $6$, et c'est le coefficient directeur de la tangente. ¹

La tangente a pour équation $y=6x+p$. Elle passe par $T(3\,;\,9)$ : $9=6\times 3+p$, donc $p=9-18=-9$.

L'équation réduite est $y=6x-9$ et l'ordonnée à l'origine vaut $-9$. ³

Contrôle : en $x=3$, $6\times 3-9=9$, on retrouve bien l'ordonnée de $T$.

Pour $x=0$ : $y=1$. Pour $x=4$ : $16-16+1=1$. Les deux points ont la même ordonnée.

Ils sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole, qui passe donc par le milieu de leurs abscisses : $x=\dfrac{0+4}{2}=2$. ³

Le sommet est sur l'axe, donc son abscisse est $2$. Son ordonnée vaut $2^2-4\times 2+1=4-8+1=-3$ : le sommet est $S(2\,;\,-3)$.

Entre $2$ et $2+h$ : $f(2+h)=4+4h+h^2-8-4h+1=h^2-3$. Le taux vaut $\dfrac{h^2-3-(-3)}{h}=\dfrac{h^2}{h}=h$.

Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $0$ : le coefficient directeur de la tangente en $S$ est nul, la tangente est horizontale, d'équation $y=-3$.