Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques
Courbes et coniques : fiche de révision de première technologique
Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une conique est la courbe obtenue en coupant un cône de révolution par un plan : ellipse, parabole ou hyperbole, le cercle étant un cas particulier d'ellipse.
Un point appartient à une courbe si ses coordonnées vérifient l'équation de cette courbe.
Le taux de variation entre deux points est la pente de la sécante qui passe par ces deux points.
La tangente en un point est la position limite des sécantes passant par ce point ; son coefficient directeur est le nombre dérivé.
Pour l'équation réduite de la tangente : pente = nombre dérivé, puis on utilise les coordonnées du point de contact pour trouver l'ordonnée à l'origine.
Les coniques : ce qu'il faut savoir
Selon l'inclinaison du plan de coupe, la forme de la section change. Tu peux l'imaginer avec une lampe de poche : le faisceau lumineux est un cône, et le contour de la tache projetée sur un mur dépend de l'angle entre la lampe et le mur. Ce contour est une conique.
Ces courbes ne sont pas des objets isolés : elles apparaissent dans les logiciels de géométrie dynamique, où l'on retrouve des courbes déjà connues que l'on regroupe sous le nom de coniques.2
Équation d'une courbe et appartenance d'un point
Sécantes et taux de variation
Tangente et nombre dérivé
Questions flash
5 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Les coniques non dégénérées sont l'ellipse, la parabole et l'hyperbole, le cercle étant un cas particulier d'ellipse. Une droite n'en fait pas partie : on peut l'obtenir quand le plan passe par le sommet du cône, mais c'est alors une conique dégénérée.
Pour x=3, on calcule 32−1=8, ce qui est bien l'ordonnée de P. Dire « faux » viendrait d'un oubli du carré, par exemple en calculant 3×2−1=5.
Le taux de variation est un quotient d'écarts d'ordonnées et d'abscisses : c'est un coefficient directeur, celui de la sécante. Ce n'est pas une longueur, même si on parle de deux points.
On calcule 3−1f(3)−f(1)=29−1=4. Une erreur courante est de diviser par 3 ou par 1 au lieu de la différence des abscisses.
La tangente apparaît quand le second point d'une sécante se rapproche du point fixé. Une droite quelconque passant par le point n'a en général pas pour pente le nombre dérivé en ce point : elle n'est donc pas la tangente. Attention, une tangente peut parfois recouper la courbe ailleurs.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une droite est tangente ou sécante ?
Une sécante coupe la courbe en au moins deux points distincts. La tangente, elle, passe par le point de contact et a pour pente le nombre dérivé en ce point : c'est la position limite des sécantes passant par ce point.3 Pour le vérifier, contrôle que la droite passe par ce point et compare sa pente avec le nombre dérivé. Une tangente peut parfois recouper la courbe ailleurs.
À quoi servent les coniques en géométrie ?
Elles regroupent des courbes que tu connais déjà, comme le cercle, et que l'on retrouve avec un logiciel de géométrie dynamique.2 Elles servent aussi à étudier des raccordements d'arcs de courbes, par exemple en dessin et en conception.2
Faut-il retenir une équation pour chaque conique ?
Pour cette fiche, l'essentiel est de reconnaître les trois formes, de savoir qu'une conique a une équation du second degré,4 et de savoir tester si un point appartient à une courbe. Retiens surtout la démarche : remplacer les coordonnées dans l'équation, puis comparer les deux côtés.