Les transformations du plan : cours de 1re technologique

En STD2A, tu travailles sur des objets du plan et de l'espace : il s'agit de les comprendre avec raisonnement, de les analyser, de les représenter et de les créer.¹ Un motif de tissu qui se répète, un logo symétrique, une frise de papier peint, une affiche dont on agrandit un élément : tous ces dessins reposent sur des transformations du plan.

Ce cours vient après les représentations planes de l'espace et les perspectives cavalière et centrale. Là, tu dessinais un objet en volume sur une feuille. Ici, tu restes sur la feuille et tu apprends à déplacer, retourner ou agrandir une figure avec des règles précises.

Le module de géométrie plane de la filière rassemble les bases du plan euclidien : droites, cercles, angles, puis vecteurs.² Nous allons réutiliser ces objets : le milieu d'un segment, la médiatrice, les coordonnées d'un point et les vecteurs.

Le programme demande aussi de savoir se servir de l'outil informatique pour analyser et réaliser des objets du plan.¹ Les constructions de ce cours se refont donc très bien dans un logiciel de géométrie dynamique : tu places un point, tu appliques la transformation, tu vérifies en déplaçant la figure de départ.

Une transformation agit sur tous les points à la fois. Pour transformer une figure (un triangle, un cercle, un motif), on transforme ses points importants : les sommets d'un polygone, le centre d'un cercle. Il reste ensuite à relier les images.

Certaines transformations sont rangées dans la famille des symétries. Une symétrie géométrique est une transformation involutive qui conserve le parallélisme.⁴ Les deux exemples les plus courants sont la symétrie orthogonale, appelée aussi réflexion, et la symétrie centrale.⁴

Concrètement, si tu retournes une feuille calque autour d'un axe, puis que tu la retournes encore autour du même axe, chaque point se retrouve à son emplacement initial. C'est exactement ce que veut dire « involutive ».

Le parallélisme conservé signifie que deux droites parallèles ont des images parallèles. C'est ce qui garantit qu'un rectangle transformé par une symétrie garde des côtés opposés parallèles.⁴

Pour construire $M'$, on trace la droite $(OM)$, puis on reporte au compas la longueur $OM$ de l'autre côté de $O$. Le point $M'$ est donc aligné avec $M$ et $O$, et il est à la même distance de $O$ que $M$. Le centre $O$, lui, est son propre symétrique : $O' = O$ (il est le seul point invariant).

Cette symétrie équivaut à un demi-tour autour de $O$. Si tu fais tourner ta feuille de 180° autour du point $O$, la figure image se superpose à la figure de départ après le demi-tour.

Rappel : la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Dire que $(d)$ est la médiatrice de $[MM']$ revient donc à dire deux choses :

• la droite $(MM')$ est perpendiculaire à $(d)$ ;
• le milieu de $[MM']$ est sur $(d)$.

C'est l'effet d'un miroir posé sur la droite $(d)$ : l'image est « de l'autre côté », à la même distance du miroir, sur la perpendiculaire.

Les vecteurs du plan font partie des bases de la géométrie plane de la filière.² Ils servent à décrire la translation.

On peut défaire une translation par la translation de vecteur opposé : composer la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ puis celle de vecteur $-\overrightarrow{u}$ redonne l'application identique, celle qui laisse tout en place.⁴

En coordonnées, si $\overrightarrow{u}(p\ ;\ q)$, alors $M(x\ ;\ y)$ a pour image $M'(x + p\ ;\ y + q)$. Par exemple, avec $\overrightarrow{u}(2\ ;\ -3)$, le point $A(1\ ;\ 4)$ devient $A'(3\ ;\ 1)$.

Le contrôle est la partie qu'on oublie le plus souvent, alors qu'il est rapide. Pour une symétrie, applique-la une seconde fois à l'image : si tu ne retrouves pas le point de départ, il y a une erreur, puisqu'une symétrie est involutive.⁴