Mathématiques · Première technologiqueÉpreuve anticipée de mathématiques

Transformations du plan : exercices corrigés de 1re STD2A

Publié le 11 novembre 2026 · Mis à jour le 11 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une symétrie centrale de centre O envoie M sur M' tel que O soit le milieu de [MM'] : $x_{M'} = 2x_O - x_M$ et de même pour l'ordonnée.⁴
Une réflexion d'axe (d) laisse les points de (d) en place ; pour les autres, (d) est la médiatrice de [MM'].⁴
Une homothétie de centre l'origine et de rapport k multiplie les deux coordonnées d'un point par k.³
Composer deux symétries centrales donne toujours une translation (l'identité si les deux centres sont confondus) ; appliquer deux fois la même symétrie centrale redonne le point de départ.⁴
Réflexe de contrôle : toujours vérifier le résultat avec le milieu de [MM'] ou avec un petit schéma à main levée.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices travaillent trois transformations du plan : la symétrie centrale, la symétrie axiale (on dit aussi réflexion) et l'homothétie. Ils vont du plus simple au plus délicat. Tu peux les faire dans l'ordre, ou viser directement le niveau qui te convient. Pour chaque exercice, cherche d'abord seul(e) : un petit schéma à main levée sur papier quadrillé aide presque toujours. Les indices sont là pour te débloquer, la correction pour vérifier chaque étape de ton raisonnement.

MéthodeLes trois outils à connaître

1. Symétrie centrale de centre O. Elle associe à tout point M le point M' tel que O soit le milieu de [MM'].⁴ En coordonnées, si $O(x_O ; y_O)$ et $M(x ; y)$ , alors

$M'(2x_O - x \; ; \; 2y_O - y).$

Cette formule vient de la condition « O est le milieu » : $x_O = \dfrac{x + x'}{2}$ , donc $x' = 2x_O - x$ .

2. Réflexion d'axe (d). Elle laisse chaque point de (d) à sa place et, pour un point M hors de (d), elle donne le point M' tel que (d) soit la médiatrice de [MM'].⁴ Pour un axe vertical d'équation $x = a$ , on garde l'ordonnée et on applique $x' = 2a - x$ .

3. Homothétie de centre l'origine et de rapport k. Elle envoie tout point $M(a ; b)$ sur le point $M'(ka ; kb)$ : les deux coordonnées sont multipliées par k.³

Pour aller plus loin : composer des transformations

Appliquer une transformation puis une autre s'appelle les composer. On obtient parfois une transformation connue. En composant deux transformations prises parmi les symétries centrales et les translations, on obtient encore une symétrie centrale ou une translation : deux symétries centrales donnent une translation, une symétrie centrale et une translation donnent une symétrie centrale.⁴ Et si l'on applique deux fois de suite la même symétrie centrale, chaque point revient à sa place : c'est l'application identique.⁴ On dit qu'une telle symétrie est involutive : le symétrique de M' est M.⁴

Les exercices

Exercice 1 Symétrique d'un point par rapport à un centre

★☆☆Environ 5 min

Dans un repère orthonormé, on donne le point $M(3 ; 2)$ et le point $O(1 ; -1)$ . Soit $M'$ le symétrique de $M$ par rapport à $O$ .

Calcule l'ordonnée de $M'$ .

Indice 1

Si O est le milieu de [MM'], l'ordonnée de O est la moyenne des ordonnées de M et M'.

Indice 2

Isole $y_{M'}$ dans l'égalité $y_O = \dfrac{y_M + y_{M'}}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

La symétrie centrale de centre O envoie M sur M' tel que O soit le milieu de [MM'].⁴
Traduis la condition sur les ordonnées : $-1 = \dfrac{2 + y_{M'}}{2}$ .
Multiplie par 2 : $-2 = 2 + y_{M'}$ .
Isole : $y_{M'} = -2 - 2 = -4$ .
Contrôle avec l'abscisse : $x_{M'} = 2 \times 1 - 3 = -1$ , donc $M'(-1 ; -4)$ , et le milieu de [MM'] est bien $(1 ; -1)$ .

L'ordonnée de $M'$ est $-4$ . La formule $y' = 2y_O - y$ évite de refaire l'équation à chaque fois.

Exercice 2 Réflexion d'axe vertical et distance MM'

★☆☆Environ 5 min

Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, la droite $(d)$ a pour équation $x = 2$ . On considère $M(5 ; 3)$ et $M'$ son image par la réflexion d'axe $(d)$ .

Calcule la distance $MM'$ en cm.

Indice 1

Une réflexion d'axe (d) garde la même ordonnée quand (d) est verticale.

Indice 2

(d) est la médiatrice de [MM'] : le milieu de [MM'] est sur (d).

Voir la correction pas à pas

Pour M hors de (d), (d) est la médiatrice de [MM'].⁴
L'axe est vertical : M et M' ont la même ordonnée, 3.
Le milieu de [MM'] est sur $x = 2$ , donc $\dfrac{5 + x_{M'}}{2} = 2$ , soit $x_{M'} = -1$ .
On a $M'(-1 ; 3)$ . Les deux points ont même ordonnée, donc $MM' = |5 - (-1)| = 6$ cm.
Autre vérification : M est à 3 cm de l'axe ( $5 - 2$ ), M' aussi de l'autre côté, soit $2 \times 3 = 6$ cm au total.

La distance $MM'$ vaut 6 cm, soit le double de la distance de M à l'axe.

Exercice 3 Retrouver le centre d'une symétrie

★★☆Environ 8 min

Une symétrie centrale envoie $M(1 ; 5)$ sur $M'(7 ; -1)$ .

Détermine l'abscisse du centre de cette symétrie.

Indice 1

Le centre est le milieu de [MM'].

Indice 2

Calcule la moyenne des abscisses.

Voir la correction pas à pas

Pour une symétrie centrale, le centre O est le milieu de [MM'].⁴
Abscisse de O : $\dfrac{1 + 7}{2} = 4$ .
Ordonnée de O : $\dfrac{5 + (-1)}{2} = 2$ , donc $O(4 ; 2)$ .
Contrôle : $2 \times 4 - 1 = 7$ et $2 \times 2 - 5 = -1$ , on retrouve bien $M'(7 ; -1)$ .

Le centre est $O(4 ; 2)$ : son abscisse vaut 4.

Exercice 4 Retrouver l'axe d'une réflexion

★★☆Environ 8 min

Une réflexion d'axe vertical $(d)$ envoie $M(-1 ; 4)$ sur $M'(5 ; 4)$ . L'axe a une équation de la forme $x = a$ .

Détermine la valeur de $a$ .

Indice 1

L'axe est la médiatrice de [MM'].

Indice 2

Le milieu de [MM'] appartient à l'axe.

Voir la correction pas à pas

L'axe d'une réflexion est la médiatrice de [MM'] pour tout point M hors de l'axe.⁴
Le milieu de [MM'] a pour abscisse $\dfrac{-1 + 5}{2} = 2$ .
Ce milieu est sur l'axe vertical $x = a$ , donc $a = 2$ .
Contrôle : M est à 3 unités de la droite $x = 2$ , M' aussi, de l'autre côté ; les ordonnées sont égales (4), donc [MM'] est bien horizontal, perpendiculaire à l'axe.

L'axe a pour équation $x = 2$ .

Exercice 5 Aire d'un triangle agrandi

★★☆Environ 10 min

Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, on considère $A(0 ; 0)$ , $B(4 ; 0)$ et $C(0 ; 3)$ . On applique l'homothétie de centre l'origine et de rapport 3. Les images de A, B et C sont $A'$ , $B'$ et $C'$ .

Calcule l'aire du triangle $A'B'C'$ en cm².

Indice 1

Multiplie les coordonnées de chaque sommet par 3.

Indice 2

Le triangle $A'B'C'$ est rectangle en $A'$ : base et hauteur se lisent sur les axes.

Voir la correction pas à pas

L'homothétie de rapport 3 et de centre l'origine multiplie les coordonnées par 3.³
Images : $A'(0 ; 0)$ , $B'(12 ; 0)$ , $C'(0 ; 9)$ .
Le triangle est rectangle en $A'$ , de côtés $A'B' = 12$ cm et $A'C' = 9$ cm.
Aire : $\dfrac{12 \times 9}{2} = 54$ cm².
Comparaison : le triangle de départ a pour aire $\dfrac{4 \times 3}{2} = 6$ cm², et $54 = 6 \times 9$ .

L'aire de $A'B'C'$ est 54 cm². Les longueurs ont été multipliées par 3, l'aire par 9.

Exercice 6 Appliquer deux fois la même symétrie

★★☆Environ 8 min

Soit $O(2 ; 1)$ et $M(-3 ; 5)$ . On note $M'$ le symétrique de $M$ par rapport à $O$ , puis $M''$ le symétrique de $M'$ par rapport à $O$ .

Calcule l'ordonnée de $M''$ .

Indice 1

Calcule d'abord $M'$ avec la formule $2O - M$ .

Indice 2

Reprends ensuite la même formule à partir de $M'$ .

Voir la correction pas à pas

Première symétrie : $M'(2 \times 2 - (-3) \; ; \; 2 \times 1 - 5) = (7 ; -3)$ .
Seconde symétrie : $M''(2 \times 2 - 7 \; ; \; 2 \times 1 - (-3)) = (-3 ; 5)$ .
On constate que $M'' = M$ : composer une symétrie centrale avec elle-même ramène chaque point à sa place.⁴
L'ordonnée de $M''$ est donc 5.

L'ordonnée de $M''$ est 5. Ce résultat est général : la symétrie centrale est involutive, le symétrique de M' est M.⁴

Exercice 7 Composer deux symétries centrales

★★★Environ 12 min

On considère $A(1 ; 2)$ , $B(4 ; -1)$ et $M(0 ; 0)$ . On note $M_1$ le symétrique de $M$ par rapport à $A$ , puis $M_2$ le symétrique de $M_1$ par rapport à $B$ .

Calcule l'abscisse de $M_2$ .
Compare les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{MM_2}$ à celles du vecteur $2\,\overrightarrow{AB}$ .

Indice 1

Calcule $M_1$ puis $M_2$ avec la formule du symétrique, une étape à la fois.

Indice 2

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A ; y_B - y_A)$ .

Voir la correction pas à pas

Première symétrie : $M_1(2 \times 1 - 0 \; ; \; 2 \times 2 - 0) = (2 ; 4)$ .
Seconde symétrie : $M_2(2 \times 4 - 2 \; ; \; 2 \times (-1) - 4) = (6 ; -6)$ .
L'abscisse de $M_2$ vaut donc 6.
Vecteur $\overrightarrow{MM_2} = (6 ; -6)$ .
Vecteur $\overrightarrow{AB} = (3 ; -3)$ , donc $2\,\overrightarrow{AB} = (6 ; -6)$ .
Les deux vecteurs sont égaux : la composée de deux symétries centrales est toujours une translation, ici de vecteur $2\,\overrightarrow{AB}$ .⁴

L'abscisse de $M_2$ est 6, et la composée se comporte comme une translation de vecteur $2\,\overrightarrow{AB}$ .

Exercice 8 Deux réflexions successives

★★★Environ 12 min

Dans un repère orthonormé, on note $(d_1)$ la droite d'équation $x = 1$ et $(d_2)$ la droite d'équation $x = 4$ . Le point $M$ a pour coordonnées $(2 ; 5)$ . On applique d'abord la réflexion d'axe $(d_1)$ et on obtient $M_1$ , puis la réflexion d'axe $(d_2)$ et on obtient $M_2$ .

Calcule l'abscisse de $M_2$ .
Quel déplacement de M à $M_2$ observes-tu ?

Indice 1

Pour un axe $x = a$ , l'abscisse devient $2a - x$ et l'ordonnée ne change pas.

Indice 2

Fais deux calculs successifs, sans sauter d'étape.

Voir la correction pas à pas

Pour une réflexion d'axe $(d)$ , l'axe est la médiatrice de [MM'] ; pour un axe vertical $x = a$ , on obtient $x' = 2a - x$ et la même ordonnée.⁴
Première réflexion (axe $x = 1$ ) : $M_1(2 \times 1 - 2 \; ; \; 5) = (0 ; 5)$ .
Seconde réflexion (axe $x = 4$ ) : $M_2(2 \times 4 - 0 \; ; \; 5) = (8 ; 5)$ .
L'abscisse de $M_2$ est donc 8.
Le déplacement de M à $M_2$ est horizontal, de $8 - 2 = 6$ unités vers la droite, soit $2 \times (4 - 1)$ : le double de l'écart entre les deux axes.

L'abscisse de $M_2$ est 8. Deux réflexions d'axes parallèles décalent le point d'un déplacement horizontal égal au double de l'écart entre les axes, ce que ce cas confirme.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser une symétrie centrale ou une réflexion ?

Regarde ce qui est donné. Si on te donne un point (le centre), c'est une symétrie centrale : ce point est le milieu de [MM'].⁴ Si on te donne une droite (l'axe), c'est une réflexion : la droite est la médiatrice de [MM'].⁴ Dans le doute, un petit schéma montre tout de suite si le point passe « de l'autre côté d'un point » ou « de l'autre côté d'une droite ».

Pourquoi une homothétie se calcule-t-elle avec une multiplication alors qu'une symétrie utilise une soustraction ?

Une homothétie de centre l'origine et de rapport k multiplie chaque coordonnée du point par k.³ Une symétrie centrale, elle, se définit par le milieu : $M' = 2O - M$ , d'où la soustraction. Les deux ne cherchent pas la même chose : l'une agrandit ou réduit, l'autre retourne la figure.

Comment vérifier mon résultat sans refaire tout le calcul ?

Pour une symétrie centrale, calcule le milieu de [MM'] : tu dois retrouver le centre.⁴ Pour une réflexion, vérifie que le milieu est sur l'axe et que les deux points sont à la même distance de l'axe. Pour une homothétie, divise les coordonnées de M' par celles de M : tu dois retrouver le rapport k, sauf si une coordonnée est nulle.

Sources

Mathématiques en classe de 1ère de la série STD2A — Bulletin Officiel, Bulletin Officiel / Ministère de l'Éducation. Consulté le 11 novembre 2026.
Module Géométrie 2D — Ressource pédagogique STD2A, Académie de Bordeaux. Consulté le 11 novembre 2026.
Plan complexe, Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.
Symétrie (transformation géométrique), Wikipédia. Consulté le 11 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Pour aller plus loin : composer des transformations

Les exercices

Exercice 1 Symétrique d'un point par rapport à un centre

Exercice 2 Réflexion d'axe vertical et distance MM'

Exercice 3 Retrouver le centre d'une symétrie

Exercice 4 Retrouver l'axe d'une réflexion

Exercice 5 Aire d'un triangle agrandi

Exercice 6 Appliquer deux fois la même symétrie

Exercice 7 Composer deux symétries centrales

Exercice 8 Deux réflexions successives

Les questions qu'on se pose

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