Fréquences conditionnelles et marginales : cours de 1re techno

Tu as déjà construit des tableaux croisés d'effectifs : on y classe des individus selon deux critères à la fois, par exemple le sexe et le mode de transport, ou le statut familial et le niveau d'études. Le tableau donne des effectifs, c'est-à-dire des nombres d'individus. Mais un effectif seul se compare mal : 45 filles qui prennent le bus, est-ce beaucoup ? Cela dépend du nombre de filles dans l'enquête, et du nombre d'élèves en tout.

Pour comparer, on passe aux fréquences, c'est-à-dire à des proportions. Le programme de la classe de première technologique cite deux notions précises dans le bloc consacré aux proportions et aux pourcentages : la fréquence conditionnelle et la fréquence marginale, avec la capacité attendue de savoir les calculer.² Un document de Sésamath consacré aux algorithmes de ce programme part d'un tableau croisé de deux variables catégorielles et en tire ces deux types de fréquences.¹

Ce cours suit un fil simple. D'abord on relit le tableau croisé et ses totaux. Ensuite on calcule des fréquences marginales, puis des fréquences conditionnelles, dans les deux sens de lecture. On apprend à rédiger une phrase de conclusion exacte, à retrouver des effectifs à partir de fréquences, et à repérer les erreurs qui reviennent le plus souvent.

Voici l'exemple que nous suivrons tout au long du cours. Dans un lycée, on interroge 200 élèves de première sur leur mode de transport principal pour venir en cours. On note aussi s'il s'agit d'une fille ou d'un garçon. Les réponses sont classées dans un tableau croisé.

Une phrase de conclusion correcte nomme toute la population : « 39 % des élèves interrogés viennent en bus. » On ne dit rien de plus, parce que la fréquence marginale ne tient pas compte de l'autre variable. Le document de Sésamath donne un modèle du même genre : on y lit que 40,35 % des individus ont un niveau Collège, et il précise bien qu'il s'agit d'une fréquence marginale.¹

Les phrases du document de Sésamath montrent bien le mécanisme. On y lit que 50 % des individus célibataires ont un niveau Collège : on se place parmi les célibataires, et on regarde la part de ceux qui ont ce niveau.¹ De même, 35,48 % des individus mariés ont un niveau Lycée : la population de référence est celle des personnes mariées.¹ Le mot qui suit « des individus » indique la condition, donc le dénominateur.

Un tableau croisé se lit dans deux sens. On peut se placer dans une ligne (on fixe la modalité de la variable des lignes) ou dans une colonne (on fixe la modalité de la variable des colonnes). Les deux lectures donnent des fréquences conditionnelles différentes, qui répondent à deux questions différentes. Le document de Sésamath le montre en construisant les deux tableaux de fréquences conditionnelles : l'un selon le niveau, l'autre selon le statut.¹

Compare deux phrases construites avec les mêmes nombres :

• « Parmi les filles, 50 % prennent le bus » : on divise 45 par 90.
• « Parmi les utilisateurs du bus, 57,69 % sont des filles » : on divise 45 par 78.

Les deux phrases utilisent la case « filles et bus » (45), mais pas la même population de référence. Elles ne disent pas la même chose, et elles ne sont jamais interchangeables. Le document de Sésamath sur les algorithmes du programme construit lui aussi les deux sens de lecture : des fréquences parmi les célibataires (par exemple 50 % ont un niveau Collège) et des fréquences parmi les individus de niveau Lycée (par exemple 35,29 % sont célibataires). Chaque sens de lecture a sa propre population de référence.¹

Souvent, un énoncé ne donne pas le tableau, mais des pourcentages. Il faut alors reconstituer des effectifs. Pour cela, on se sert du fait qu'une fréquence conditionnelle est un quotient : on peut donc la multiplier par l'effectif de la sous-population pour retrouver l'effectif de la case.

Le tableau ci-dessus récapitule les fréquences conditionnelles selon le sexe. Chaque ligne s'additionne à 100 %. Tu y lis d'un seul regard que les garçons choisissent plus souvent le vélo ou la marche, alors que les filles choisissent plus souvent le bus.

Le programme de première technologique prévoit aussi de construire un tableau croisé à partir d'un fichier d'individus, puis d'en tirer des fréquences marginales et conditionnelles par programme ou avec un tableur.¹ Le principe reste celui du cours : on compte d'abord les effectifs, on calcule ensuite les totaux des lignes et des colonnes, puis on divise.